Властивості нескінченно малих послідовностей

1. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення. Візьмемо дві нескінченно малі послідовності (α_п) і (β_п) і доведемо, що їх сума (w_п) теж нескінченно мала величина. Задамо довільне додатнє число ε, тоді за означенням нескінченно малих послідовностей будемо мати: і(якщо ці околи для(α_п) і (β_п) не співпадають, то обидві ці нерівності будуть виконуватися в найменшому з них). Оскільки за властивостями модуля модуль суми не перевищує суми модулів: , то у вказаному околі буде, а це доводить, що (w_п) – нескінченно мала послідовність. Нехай тепер дана сума (w_п) трьох нескінченно малих доданків (α_п), (β_п), (γ_п). Тоді суму (w_п) можна подати як суму двох нескінченно малих w_п=(α_п+β_п)+(γ_п). А за доведеним вище сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала, тому теорема справедлива й для трьох нескінченно малих послідовностей. Продовжуючи аналогічно можна довести справедливість твердження для скінченого числа нескінченно малих числових послідовностей.

Приклад 3.

Довести, що послідовність із загальним членом ,п=1, 2,... є нескінченно малою.

Розв´язання

Маємо , тобтоу_п є алгебраїчною сумою двох нескінченно малих числових послідовностей, тоді за властивістю 1 у_п – нескінченно мала послідовність.

2. Добуток нескінченно малої числової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

Доведення. Нехай (α_п) нескінченно мала послідовність, а и(х) – функція, яка обмежена в деякому околі граничної точки: .Доведемо, що (иα_п) – нескінченно мала. Задамо довільне додатне число ε, тоді за означенням нескінченно малих послідовностей будемо мати: , тоді:, що й доводить теорему.

Приклад 4.

Довести, що послідовність із загальним членом п=1,2,... є нескінченно малою.

Розв´язання

Маємо дві послідовності:нескінченно мала (оскільки),- обмежена (оскільки), тому- нескінченно мала за властивістю 2.

3. Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, границя якої відмінна від нуля, є нескінченно малою величиною.

Доведення. Нехай (α_п) нескінченно мала послідовність, а и(х) – функція, границя якої А відмінна від нуля. Розглянемо функцію і доведемо, що вона є обмеженою. Нехай, наприклад,А>0. Значення функції наближаються до значення А і в деякому околі стануть більшими ніж, наприклад, , тобтои(х)>, тоді, а це означає, щоє обмеженою. Аналогічно доводиться випадокА<0. Тоді: - є добуток нескінченно малої величини на обмежену функцію, тому в силу попередньої теореми- нескінченно мала величина. Що й треба було довести.

5. Нескінченно великі числові послідовності

Означення 1.9. Послідовність (у_п) називається нескінченно великою, якщо, яке б не було число М>0, існує таке число N=N(M), що для всіх n>N виконується нерівність . Тобто.

Наприклад: - нескінченно великі.

Якщо члени нескінченно великої послідовності починаючи з деякого номера є додатні, то це позначають так: , а якщо від´ємні, то: .

Наприклад. Послідовність у_п=20-п – від’ємна нескінченно велика, оскільки: приn>20.

Теорема 1.4. Якщо (у_п) є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність є нескінченно малою.

Доведення. З означення 1.9. випливає, що яке б не було число М>0, існує таке число N=N(M), що для всіх n>N виконується нерівність . Нехай, деε – довільне додатне число. Тоді (n>N), або для маємо(n>N), тоді за означенням - нескінченно мала. Що й треба було довести.

Теорема 1.5. (обернена теоремі 1.4.). Якщо послідовність є нескінченно малою ідля всіхn=1, 2,…, то послідовністьє нескінченно великою.

Доведення. З означенням нескінченно малої числової послідовності випливає, що для будь-якого додатного числа ε існує таке число N, що для всіх n>N виконується нерівність . Нехай, деМ – довільне додатне число. Тоді . Позначимо, тоді, що й треба було довести.