5. Асимптоти кривої.

Означення 4.8. Пряма l називається асимптотою кривої, якщо відстань д від змінної точки М кривої до цієї прямої прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність.

Асимптоти є вертикальні, похилі і горизонтальні. Пряма х=а буде вертикальною асимптотою кривої , якщо точках=а є точкою розриву другого роду функції .

Рівняння похилої асимптоти: у=kx+b, де k=, b=. Якщо обидві записані границі існують, то існує похила асимптота; якщо хоча би одна з них не існує або дорівнює ∞, то крива похилої асимптоти не має.

Якщо k=0, то b=, тому у= b – рівняння горизонтальної асимптоти.

Приклад 8.

Знайти асимптоти кривих: а) у=;б) у=2х+.

Розв’язання.

а) у=.

1) Знайдемо вертикальні асимптоти. Задана функція невизначена в точці х= -1. Оскільки і, то точках= -1 – точка розриву другого роду, а тому пряма х= - 1 – вертикальна асимптота.

2) Для знаходження похилої асимптоти обчислимо k i b. k==;b=. Отже, похилої асимптоти нема, а пряма у=0 – горизонтальна асимптота.

б) у=2х+.

1) Знайдемо вертикальні асимптоти. Задана функція невизначена в точці х=0. Оскільки і, то точках= 0 – точка розриву другого роду, а тому пряма х= 0 – вертикальна асимптота.

2) Для знаходження похилої асимптоти обчислимо k i b. k=,b=. Отже, прямау=2х – похила асимптота.

3) Знайдемо горизонтальну асимптоту. b =. Горизонтальної асимптоти нема.

6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.

Щоб дослідити функцію та побудувати її графік, треба:

1. знайти область визначення функції;

2. знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з координатними осями;

3. дослідити функцію на періодичність, парність і непарність;

4. знайти точки розриву та дослідити поведінку функції в околі цих точок;

5. знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та локальні екстремуми;

6. знайти інтервали опуклості, вгнутості, точки перегину;

7. знайти асимптоти кривої;

8. побудувати графік функції, враховуючи дослідження, проведені в п. 1-7.

Якщо графік виявиться не зовсім зрозумілим, потрібно додатково знайти кілька точок графіка, обчисливши значення функції для певних значень аргументу; бажано також в цих самих точках обчислити першу похідну, щоб визначити в них напрям дотичної.

Приклад 9.

Дослідити та побудувати графік функції у =.

Розв’язання.

1) Область визначення – всі дійсні числа, крім х=2 і х= -2, тобто D(y)=(-∞; - 2)( - 2; 2)(2; +∞).

2) Знайдемо точки перетину з: - віссю Ох. у=0 х=0. Графік перетинає вісь у початку координат. - віссю Оу. х=0 у=0.

3) Функція неперіодична. Оскільки область визначення симетрична відносно 0 і у( - х)= = = -у(х), то функція непарна. Тому її графік симетричний відносно початку координат.

4) точки х=2 і х= -2 – точки розриву другого роду, бо ,,,.

5) Знайдемо похідну: . Похідна дорівнює нулю в точкахх₁=0, х₂=2,х₃= - 2та не існує в точкахх=2 і х= -2. Оскільки останні дві точки не належать області визначення функції, то критичними точками функції є х₁=0, х₂=2,х₃= - 2. Визначимо знак похідної :

1. якщо х є (-∞;- 2), тоу'(х)<0 – функція спадає;

2. якщо х є (- 2; - 2), тоу'(х)>0 – функція зростає;

3. якщо х є (- 2; 0), то у'(х)>0 – функція зростає;

4. якщо х є (0; 2), то у'(х)>0 – функція зростає;

5. якщо х є (2; 2), тоу'(х)>0 – функція зростає;

6. якщо х є (2; +∞), тоу'(х)<0 – функція спадає.

У точці х₃= - 2функція має локальний мінімум,у_min=3; y точціх₃= 2функція має локальний максимум,у_max= - 3.

6) Знаходимо другу похідну: у''=.Похідна у''=0 в точці х=0 і не існує в точках х=2 і х= -2. Оскільки точки х=2 і х= -2 не входять в область визначення функції. то критичними точками другого роду є точка х=0. Маємо:

1. якщо х є (-∞;- 2), то у''(х)>0 –крива вгнута;

2. якщо х є (- 2; 0), то у''(х)<0 –крива опукла;

3. якщо х є (0; 2), то у''(х)>0 –крива вгнута;

4. якщо х є (2; +∞), то у''(х)<0 –крива опукла.

7) З пункту 4 випливає, що прямі х=2 і х= -2 – вертикальні асимптоти. З’ясуємо, чи існує похила асимптота. k=,b=. Прямау= -х – похила асимптота. Горизонтальної асимптоти крива не має.

8) Враховуючи проведене дослідження, будуємо графік функції (рис. 14)