Приклад 1.

Знайти інтервали монотонності функцій: 1) y=arcctgx; 2) y=.

Розв’язання.

1) Областю визначення функції y=arcctgx є інтервал (-∞; +∞). Похідна у' = - також існує на (-∞; +∞) і не перетворюється в нуль. Оскільки у'<0, то функція спадає на всій області визначення.

2) Областю визначення заданої функції є інтервал (-∞; +∞). Знайдемо її похідну: у' = . Знайдемо нулі похідної (похідна заданої функції визначена на (-∞; +∞)): 2-2х²=0 х=1 або х= -1. Знайдені точки розбивають область визначення на 3 інтервали. Визначимо знак похідної на кожному з них. Оскільки у'(-2)= -,у'(-2)<0, то на інтервалі (-∞; -1) функція спадає. у'(0)=2, у'(0)>0, тому на інтервалі (-1; 1) функція зростає. у'(2)= -,у'(2)<0, то на інтервалі (1; +∞) функція спадає.

2. Локальний екстремум функції.

Означення 4.2. Якщо існує окіл точки, який міститься в проміжку (а;b) і такий, що для всіх, то точканазиваєтьсяточкою локального максимуму функції у=, а саме число називаєтьсялокальним максимумом функції у=.

Означення 4.3. Якщо існує окіл точки, який міститься в проміжку (а;b) і такий, що для всіх, то точканазиваєтьсяточкою локального мінімуму функції у=, а саме число називаєтьсялокальним мінімумом функції у=.

Точки максимуму й мінімуму функції називають локальними екстремальними точками або точками локального екстремуму, а максимум і мінімум називають локальним екстремумом функції.

З’ясуємо умови існування локального екстремуму.

Теорема 4.3 (необхідна умова існування екстремуму). Якщо функція у=у внутрішній точціпроміжкумає екстремум, то в цій точці похідна, якщо вона існує, дорівнює нулю.

Означення 4.4. Внутрішня точка проміжкуназиваєтьсястаціонарною точкою функції у=, якщо в цій точці. Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, але вони належать області визначення функції, називаютьсякритичними точками функції.

Умова =0 є необхідною, але не є достатньою для того, щоб диференційована в точці функція мала локальний екстремум. Так, наприклад, функція у=х³ має похідну у'=3х², яка дорівнює 0 в точці х=0. Але ця точка не є точкою локального екстремуму.

Розглянемо умови, які дають змогу із множини критичних точок виділити точки локального екстремуму.

Теорема 4.4 (достатня умова існування екстремуму). Нехай х₀ - критична точка функції у=, яка в цій точці неперервна, і нехай існує окіл (х₀-δ; х₀+δ) точки х₀, в якому функція має похідну, крім, можливо, точки х₀. Тоді:

1) якщо на інтервалі (х₀-δ; х₀) похідна додатна, а на інтервалі (х₀; х₀+δ) похідна від’ємна, то точка х₀ є точкою локального максимуму функції у=;

2) якщо на інтервалі (х₀-δ; х₀) похідна від’ємна, а на інтервалі (х₀; х₀+δ) похідна додатна, то точка х₀ є точкою локального мінімуму функції у=;

3) якщо на обох інтервалах (х₀-δ; х₀), (х₀; х₀+δ) похідна має той самий знак, то точка х₀ не є точкою локального екстремуму функції.

З теорем 4.3 і 4.4 випливає перше правило дослідження функції на локальний екстремум.

Щоб дослідити функцію у=на локальний екстремум,треба:

1) знайти область визначення функції;

2) знайти стаціонарні точки заданої функції (для цього треба розв’язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області визначення функції);

3) знайти точки, в яких похідна не існує (функціяв цих точках існує). Якщо критичних точок функціяу=не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має локального екстремуму. Якщо критичні точки є, то треба дослідити знак похідної на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення цими точками. Якщопри переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на –, то ця точка є точкоюлокального максимуму. Якщо змінює знак з – на +, то ця критична точка є точкоюлокального мінімуму. Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.

4) Обчислити значення функції в локальних точках екстремуму.