3. Границя числової послідовності.

Розглянемо числову послідовність і обчислимо її перших п’ять членів:

. Зобразимо їх на координатній прямій (рис.1).

Як бачимо, із збільшенням номера члена послідовності, самі члени послідовності все більше і більше наближаються до числа 1. Оскільки відстанню між числами є не що інше, як модуль їх різниці, то для даної послідовності можна стверджувати, що |y_n-1|<|y_n-1 --1|. Зрозуміло, що при зростанні числа п члени заданої послідовності будуть дедалі менше відрізнятися від числа 1. Наприклад 100^й член послідовності (тобто п=100): , а 1000^й - . Як бачимо із зростанням числап можна підібрати якесь досить мале число ε>0 (епсілон), таке що |y_n-1|<ε, починаючи з певного номера члена послідовності. Наприклад, для ε=0,2 таким членом буде у₅ (N=5), оскільки |y₅ -1|=|-1|<0,2; а для ε=0, 011 таким членом буде у₁₀₀ (N=100)_.

В цьому випадку кажуть, що число 1 є границею заданої числової послідовності при п що прагне до нескінченності .

Означення 1.6. Число А називають границею числової послідовності у_п, якщо для будь-якого ε > 0 (епсілон) існує номер члена послідовності N(ε) (ен велике від епсілон), що для всіх п > N(ε) виконується нерівність . Позначення:. Читають: границя числової послідовностіу_п при п, що прагне до нескінченності, дорівнює А.

У нашому випадку .

Якщо числова послідовність у_п має границю, то вона називається збіжною. Якщо числова послідовність границі не має, то вона називається розбіжною.

Приклад 1

Обчислити границю послідовності .

Розв´язання

Запишемо кілька її членів: Як бачимо, члени цієї послідовності прямують до 1. Перевіримо наше припущення. За означенням границі, якщо ми знайдемо таке числоN, що для всіх п > N(ε) буде виконуватися: |y_п -1|=|-1|< ε, то А=1 – границя (у_п). Маємо: ,,,. Тобто існує таке числоN. Наприклад, при ε=0,01 , тобто починаючи із 100^го члена послідовності, відстані між ними і числом 1 буде менше 0,01.

Тому .

Приклад 2

Довести, що .

Розв´язання

За означенням границі це означає, що існує таке N(ε), що для всіх п>N(ε) виконується нерівність . Тоді:,,. Отже при, границею заданою послідовності є число 2.

4. Нескінченно малі числові послідовності

Означення 1.7. Послідовність у_п=f(n) n=1, 2,.. називається нескінченно малою, якщо . Тобто, іншими словами, послідовність єнескінченно малою, якщо члени її послідовності із зростанням п, починаючи з деякого номера, прямують до нуля.

Наприклад: є нескінченно малими.

Оскільки за означенням границі числової послідовності має виконуватися нерівність: , то можна дати ще таке означення нескінченно малої числової послідовності.

Означення 1.7'. Числова послідовність (у_п) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N(ε) таке, що для всіх п > N(ε) виконується

Слід зауважити, що деякі члени нескінченно малої числової послідовності можуть бути досить великими числами, але, починаючи вже з деякого номера, їх члени прямують до нуля.

Позначають нескінченно малі числові послідовності (α_п), (β_п), (γ_п) ...

Теорема 1.1. Якщо , то послідовність (α_п)=(у_п-А) є нескінченно малою.

Доведення. За означенням границі для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N(ε) таке, що для всіх п > N(ε) виконується , тобто, а отже, (α_п) – нескінченно мала послідовність за означенням. Що й потрібно було довести.

Теорема 1.2. Якщо різниця між у_п і числом А є нескінченно малою послідовністю, то А є границею послідовності (у_п).

Доведення. Позначимо α_п=у_п-А, де (α_п) - нескінченно мала послідовність за умовою теореми. Тоді за означенням для будь-якого додатного числа ε існує натуральне число N таке, що для всіх п > N(ε) виконується ,або. Тоді за означенням границі. Що й потрібно було довести.

Доведені дві теореми можна об’єднати в одну.

Теорема 1.3. Для того, щоб границя числової послідовності дорівнювала числу А необхідно і достатньо, щоб різниця (у_п-А) була нескінченно малою числовою послідовністю.

Звідси маємо ще таке означення границі.

Означення 1.8. Число А називається границею числової послідовності (у_п), якщо різниця між у_п і числом А є нескінченно малою послідовністю, тобто (у_п-А)=(α_п), де (α_п) – нескінченно мала послідовність.