Пособие_ВМ_для_менеджеров

3 5 7 0 і 4 2 3 0.

Приклад

2.17.

Знайти

точки

перетину

двох прямих

.

3,

5, 7;

4,

2, 3

(2.29) маємо

Розв’язання:

За формулами

:

,F·5, ·>

c;

,;·>,5·5

5>.

5· , ,; · ,F ;

5· , ,; · ,F

;

лінією другого порядку

1 2 ˆ 0.

(2.30)

71

2.3.1. Коло

Визначення 2.3. Коло – це

y

геометричне місце точок, що

рівновіддалені від однієї точки, яка

називається

центром

кола.

O1

Відстань від центра кола до будь-

b

R

якої

точки

кола

називається

M(x,y)

радіусом кола.

,

Виведемо

рівняння

кола

O

a

ƒ

x

визначенням.

S, T

Рис. 2.23.

згідно

з

Нехай

- будь-яка точка кола,

–

центр кола,

-радіус

(рис. 2.23):

ƒ S T

(2.31)

Рівняння (2.31) називається канонічним рівнянням кола.

Перетворимо (2.31):

2S S 2 T T ƒ 0.

,

ˆ S

T

ƒ

.

,1, 1, 0,

1 2S,

2 2T,

Порівнюємо

з (2.30),

маємо

Отже

рівняння

(2.30)

описують

коло

якщо коефіцієнти при квадратах

і

дорівнюють один

одному, а коефіцієнт при добутку

дорівнює нулю

.

Приклад 2.18. Скласти канонічні рівняння кола якщо

відомо, що:

2, 5 і ƒ 4;

а) центр знаходиться у точці

72

через точку)

4,2 ;

3,7

б центр знаходиться у точці

і коло проходить

: 2, 3, 6,5 .

в) відомі координати кінців

одного з діаметрів кола

(2.6), (2.7) координати центра кола як координати середини

відрізка : ~# -E 4; ~#

,5-F 1. Радіус знайдемо як

довжину відрізка :

ƒ 4 2 1 3 √20 2√5 .

4 1 20.

Приклад 2.19. Визначити, яку лінію задає рівняння

6 8 11 0?

,

Розв’язання: Коефіцієнти

тому

порядку описує коло Для того

,

загальне рівняння лінії другого

1, 1, . 0

x=-d

y

B1

x=d

b

M(x,y)

A1

F

F2

A2

1

x

- a

-a

-c

О

c

a

a

e

e

-b

B2

ˆ i, 0

Рис. 2.24.

–

ˆ i, 0(

. 2.24),

,

-

фокуси еліпса. Якщо точка

Нехай

і

будь-яка точка еліпса

рис

то за визначенням

маємо

|ˆ | |ˆ |

2S,

S

(2.32)

–

:

|ˆ |

|ˆ |

-

фокальні радіуси.

де

дана стала величина.

і

Знайдемо їх довжини

|ˆ | i ;

|ˆ | i .

4S i 4S 4i; |: 4_

S

i

S

i ;

S

2i i S; 2S i i ;

S i

S

S S i |: S S i .

Позначимо

T

S

i

і отримаємо

канонічне

рівняння

еліпсу:

P+$$ /Q$$ 1.

(2.33)

Точки

перетину з

осями

симетрії,

які

в нашому

випадку

S,, 0 ,

S, 0 , 0, T , 0, T

| | S

співпадають з осями координат, називаються вершинами еліпса:

| | T

.

- велика піввісь

еліпса

- мала піввісь еліпса.

‰ P4 p 1 або ‰ €1

PQ% .

(2.34)

Ексцентриситет характеризує форму еліпса: чим ближче ‰ до 1,

тим менше відношення PQ, і тим більше витягнутий еліпс; і

навпаки: чим менше ексцентриситет, тим ближче відношення Q

до 1 і тим ближче еліпс за формою наближається до кола.

P

Визначення 2.6. Нехай

(рис. 2.24). Дві прямі, що

розташовані на

відстані

P

від

перпендикулярні великій осі

іS Š T

центра, називаються директрисами еліпса:

‹

P‹ ,

P‹.

(2.35)

75

Оскільки

, то права директриса розташована праворуч від

вершини а ліва

–

ліворуч від лівої вершини

правої

‰ p 1 ,

.

Властивість директрис еліпса Якщо

відстань від

будь-якої точки еліпса до будь-якого фокуса.

,

- nвідстань-

від тієї

ж точки до директриси, яка відповідає

цьому

фокусу то

,

відношення Œ величина незмінна і дорівнює ексцентриситету

еліпса:

•

•Œ ‰

(2.36)

Приклад 2.20. Знайти довжину півосей, ексцентриситет,

координати фокусів і вершин, скласти рівняння директрис

еліпса +E$ /c$

1.

Розв’язання:

S

16;

Ž

S 4

дорівнює

4,

T 3

-

,

,

дорівнює

3.

Координати T

9;

Ž

за

умовою

; отже

велика

піввісь

0,3 , 0, 3 .

4,0

4,0

аналогічно

мала

піввісь

‰ P4 √;> p 1.

Директриси знайдемо за формулою (2.35): P

;

E; їх

√s

рівняння

‹

r

√>

76

T

S

а) за .умовою T 3, i √5

. Знайдемо S

із

тотожності

Канонічне

.

i

S √T i √9 5 √14

рівняння еліпса має вигляд

+;$ /c$ 1;

(2.34): б) за умовою S 10, ‰ F. Скористаємось формулою

P4 F,

i F S F · 10 4.

+DD$ /=;$ 1.

в) за умовою дані точки

і

належать еліпсу, тому їх

рівнянню

:

координати задовольняють його

77

P;$$

QD$$

1

;

PE$

1

;

S 16

;

‘

,5P$ $

•√Q$•$

1_

‘Pc$

Q$

1_

’Ec Q$ 1_

S 16

;

S 16 .

’Q$ 1 Ec _

’ T 5> _

Розв’язання: За умовою

2i

P-Q

або

2i S T

.

Скористаємося основною тотожністю для еліпса T

S i :

перетворення:

4i S 2S√S i S i ;

5i

2S

2S√S i

|: S _

.

За визначенням ‰ P4, маємо: 5‰ 2 2√1 ‰ . Розв’яжемо

це рівняння відносно ‰:

•2√1 ‰ • 5‰ 2 ;

4 4‰ 25‰; 20‰ 4;

25‰;

16‰ 0.

x=-d

y

x=d

M(x,y)

B

b

1

F

A1

A2

F2

1

x

-c

-a

O

a

c

b

B2

-b

b

x=a

x=- a

,

Рис.

2.25.

точка

- фокуси

гіперболи. Якщо

Нехай

і

будь яка

(рис. 2.25),

то

за

точка

ˆ–

i, 0-

ˆ i, 0 гіперболи

визначенням маємо

|ˆ | |ˆ | z2S,

(2.37)

-

S

.

«

»

,

|ˆ | |ˆ |

«мінус», коли |ˆ | p |ˆ |.

|ˆ | Š

|ˆ |

тут

-

деяка стала додатна величина з визначення,

і

фокальні радіуси

Знак

плюс

беремо

коли

і

маємо: За визначенням (2.37) і

умовою, що

|ˆ | Š |ˆ |,

i i 2S; або

79

i

2S i

:

. Піднесемо цю рівність

до квадрату і виконаємо відповідні перетворення

2i i

4S 4S i 2i i ;

4S i 4i 4S ;

|: 4_

S i

i S ;

S 2i i

i

2S i S;;

S i

S

S S i . |: S S i

Позначимо

T

i

S

і отримаємо

канонічне

рівняння

гіперболи:

P+$$ /Q$$ 1.

S, 0

(2.38)

– є центром

S,,

0 ,

-

,

0,0

Точки перетину

гіперболи з віссю

називаються її

гіперболи:

координат

Початок

вершинами

гіперболи

відрізки

дійсною віссю

- умовною віссю гіперболи.