Математическая статистика Тема. Выборочный метод

Пример 1.Для выявления доли (удельного веса) простаивающих станков было взято на выборку 100 станков. Простаивающих станков оказалось 20. с надежностью 0,99 оценить доверительный интервал, в котором окажется доляпростаивающих станков во всей совокупности станков.

Найдем долю простаивающих станков в выборочной совокупности

Определим предельную ошибку выборки

Доверительные интервалы доли простаивающих станков во всей совокупности станков будут , подставляем

Чаще интервалы для доли вычисляются в процентах, тогда

Т.е. с надежностью 0,99 доля простаивающих станков во всей совокупности будет заключена в пределах доверительного интервала от 0,97% до 30,3% всех станков.

Пример 2.Имеются данные о производительности труда 100 ткачих фабрики, на которой работают 1000 ткачих.

Выработано ткани, м	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44
Число ткачих	9	12	36	27	10	6

Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключена средняя выработка одной ткачихи фабрики;

2) доверительный интервал, в котором с надежность 0,9545 заключена доля ткачих, имеющих выработку 36 метров и более;

3) вероятность того, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0,8 м по абсолютной величине.

Решение:Вычислим характеристики выборочной совокупности:

выборочную среднюю -

выборочную дисперсию -

Все необходимые расчеты приведены в таблице:

Выработка ткани, м
20-24	22	9	198	-9,4	88,36	795,24
24-28	26	12	312	-5,4	29,16	349,92
28-32	30	36	1080	-1,4	1,96	70,56
32-34	34	27	918	2,6	6,76	182,52
36-40	38	10	380	6,6	43,56	435,60
40-44	42	6	252	10,6	112,36	674,16
	-	100	3140	-	-	2508

Из таблицы имеем: м;м²

=5,008м,

1) При надежности , коэффициент надежности(таблица 2).

Для повторного отбора

=

Доверительный интервал для генеральной средней

При повторном отборе

м

Для бесповторного отбора

м

С надежностью 0,9973 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики (генеральная средняя) будет изменяться при повторном отборе от 29,898 м и до 32,902 м, а при бесповторном отборе от 29,975 м до 32,825 м.

2) Выборочная дисперсия по доле

При , коэффициент надежности(таблица 2).

Предельные ошибки:

для повторного отбора ==

для бесповторного отбора

Доверительный интервал для доли:

для повторного отбора

или

для бесповторного отбора

или

С надежностью 0,9545 можно утверждать, что доля ткачих фабрики (генеральная доля), имеющих выработку 36 метров и более будет изменяться от 8,7% до 23,3% при повторном отборе и от 9,04% до 22,96% для бесповторного отбора.

3) Для определения вероятности (надежности), что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0,8 м по абсолютной величине, используем формулу теоремы Чебышева-Ляпунова .

Значение найдем по формуле предельной ошибки выборки для

бесповторного отбора .

Тогда имеем

По таблице №2 значение функции находим

Окончательно запишем

С вероятностью 0,9070 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средних обследованных ткачих не более чем на 0,08 м.