Примеры вычисления определенного интеграла
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определённый интеграл
а)
Решение
а) Для вычисления интеграла
в подинтегральной функции проведём
замену переменной
t
t-1
=(t-1)2
=d(t-1)2
=2(t-1)dt).
Найдём пределы интегрирования для новой
переменной
.
При x=0 имеемt = 1, приx= 1,t= 2.
Получим
dt=
=
dt.
Для вычисления полученного интеграла,
применим формулу Ньютона-Лейбница:
=
Окончательно будем иметь:
=
ln2)-2(
ln1)
=ln2-1.
б) Вычислить определённый интеграл
cos3
Решение
Для нахождения определённого интеграла воспользуемся формулой и методом подведения под знак дифференциала:
=
= -
(
5
50)=
в) Вычислить определённый интеграл
ln(
)
Решение
Воспользуемся способом интегрирования по частям в определённом интеграле
udv=uv
vdu
Положим ln(
)=u,dv=
.
Найдёмd(ln(
))=du
du
,v=
Вычислим интеграл
ln(
)
=ln(
)
ln2-
=
=ln2-
+
ln2-x
ln(
)
=ln2-(1-0)+ (ln2-ln1)=2ln2-1
Задания для самостоятельной работы
Вычислить значения определенных интегралов:
1)
7
2)
²
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
ln
10)
11)
12)
13)
14)
15)
ln(
)
Геометрический смысл определенного интеграла.
Примеры на вычисление площадей.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями:
и
Сделать чертёж.
Решение:
Найдём абсциссы точек пересечения парабол из уравнения:
Изобразим на координатной плоскости ХОУ данную фигуру, ограниченную двумя параболами:
и
Искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций: S=
=
-
=
Задания для самостоятельной работы
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
Сделать чертёж.
1)
=
и
=
2)
=
и
=
3)
=
и
=
4)
=
и
=
5)
=
и
=
6)
=
и
=
7)
=
и
=
8)
и
=
9)
=
и
=
10) y=sinx,y=0,x=0,x=
11) y=cosx,y=0,x=0,x=
.
Форма контроля: Проверка решений задач и заданий
Функции двух переменных
Пример1. Построить область определения функцииz = arcsin(0,5 +x) + arcsin(0,7 +y).
Т
ак
как аргументarcsin(x)
не может превышать по абсолютной
величине единицу, то ограничения
имеют вид:
-1 ≤ (0,5 + x) ≤ 1;
-1 ≤ (0,7 + y) ≤ 1, записав иначе, получим,
-1,5 ≤ x ≤ 0,5;
-1,7 ≤ y ≤ 0,3.
Соответствующая область определения приведена на рисунке 4.
Пример 2. Построить в плоскости0xy область определенияD функцииz=f(x,y), ограниченной прямойx=0, кривымиy=sinxи y=cosx.
Построив указанные прямую и кривые на плоскости 0xy, получим искомую область (рисунок 5). Точку пересечения кривых найдем из решения системы
y
=sinx;
y=cosx;
Примеры для самостоятельного решения
Пример 3. Построить в плоскости0xy
область определенияD
функции
Пример 4. Построить в плоскости0xy
область определенияD
функции
Пример. Построить в плоскости0xy область определенияD функцииz=f(x,y),еслиD ограничена:
№5.Прямымиx = 0;y=1 и кривой y=tgx;
№6. Прямымиy = 0;y=x; y=1;y=3-x;
№7. Прямымиy = 0;y=1 и кривыми y=x2;y=(x-3)2;
№8. Прямымиx = 4;y=0 и кривой y=x1/2;
№9. Прямымиy=0 и кривой y=1 –x2.
Линии уровня.
Пример 10.В плоскости0xyопределено скалярное поле как расстояниеR(x,y) от заданной точкиM0(x0,y0). Построить линии уровней для заданного скалярного поля.
Зафиксировав конкретное расстояние R(x,y) =R0от заданной точки, найдем токи равноудаленные отM0(x0,y0). Эти точки образуют окружность с центромM0(x0,y0) и радиусомR0. ПридаваяRразличные значения, получим линии уровня - систему концентрических окружностей с общим центром в точкеM0(x0,y0).
Если аналогичное скалярное поле задано в трехмерном пространстве, то поверхностями уровня будут вложенные друг в друга сферы.
Пример 11. Скалярное поле задано на плоскости0xyкак расстояние от заданной прямойAx+By+C=0. Построить линии уровня скалярного поля.
Все точки, равноудаленные от прямой на фиксированное расстояние, образуют две параллельные прямые по обе стороны от заданной. Задавая различные расстояния, получим систему параллельных прямых.
П
ример
12.Пусть скалярное поле задано в
виде функции двух переменныхz(x,y)=x2+y2-
параболоид вращения. Построить линии
уровня для заданного скалярного поля.
Будем придавать с равными шагами различные фиксированные значения функции z(x,y)=Ci. В результате получим уравнения окружностей с различными радиусамиx2+y2=Ci. В результате сечения трехмерного графика (рисунок 2) плоскостями параллельными плоскости0xyпо высоте получим окружности.
Их проекция на плоскость 0xyпредставляет собой так же систему концентрических окружностей.
В примере следует обратить внимание на то, что несмотря на равномерное разбиении по высоте, радиусы окружностей возрастают неравномерно (рисунок 7). Чем быстрее изменяется функция, чем круче ее график, тем плотнее располагаются линии уровня - окружности.