Тема. Повторные независимые испытания
1. Формула Бернулли
Пример 1. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т одинаковы и равны 0,2. Найти вероятность того, что из 8 откажут 2 элемента.
Решение.В данном случае событие А – отказ прибора,n= 8,m=2, р = р(А) = 0,2, следовательноq=1-р=0,8.По формуле Бернулли находим вероятность
Пример 2.Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а их имеется десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.
Решение. Событие А – выход автомашины на линию. В нашем случаеn= 10,m= 8,9,10;qq= р(А) = 0,1; р = р(А) = 1-q= 0,9.
Автобаза будет работать нормально, если на линию выйдут или восемь (событие В), или девять (событие С), или десять автомашин (событие Д). По теореме сложения для несовместных событий имеет
р(F) = р(В+С+D)
=
Каждое слагаемое находим по формуле Бернулли. В результате получим:
Р(F) =
Пример 3.Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах равна 0,936. Найти вероятность того, что из шести выстрелов стрелок попадет в мишень пять раз. (Предполагается, что вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же)
Решение. Событие А – попадание в мишень
при одном выстреле, В – хотя бы одно
попадание при трех выстрелах. По условию
задачи
=3,n=6,n=5,
р(В)=0,936. Требуется найти
.
Для определения вероятности попадания
при одном выстреле р(А)=1-qиспользуем теорему о «вероятности
появления хотя бы одного событияnнезависимых событий», которая в нашем
случае запишется:
Р(В)=1-
=1-
=0.936
Отсюда
=
1-0,936=0,064;q=
=0,4
Следовательно, р = 1-0,4=0,6. Для нахождения искомой вероятности применим формулу Бернулли:
2. Локальная теорема Лапласа
Пример 4. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке рана 0,4. найти вероятность того, что среди наудачу взятых 25 деталей половина окажется высшего сорта.
Решение. Событие А – деталь высшего
сорта. По условию задачиn=25,m=13? р=р(А)=0,4,q-0,6.
Требуется найти
.
Воспользуемся локальной формулой
Лапласа:
=
.
X=
.
По таблице (приложение 1) находим
(1,04)=0,2323
Искомая вероятность:
=
3. Наивероятнейшее число наступлений события (наивероятнейшая частота)
Решение. Событие А - изделие высшего сорта. Известие, что р=0,31, п= 75, q=1-p-0.69. Составляем двойное неравенство:
.
.
4. Интегральная теорема Лапласа
Пример 6. Вероятность выигрыша на один билет равна 0,1. Какова вероятность того, что из 60 билетов выигрышных окажется то 5 до 10 билетов.
Решение.Событие А – выигрышный
билет. По условию задачиn=60,а=5,в=10, р=0,2,q=0,8.
Требуется найти
.
Применяем интегральную теорему Лапласа.
Находим
;
.
Искомая вероятность равна:
Пример 7.Вероятность попадания в мишень равна 0,8. Стрелок делает 100 выстрелов. Найти а) наивероятнейшее число попадания и вероятность этого числа; б) вероятность того, что число попаданий будет не менее (по крайней мере, хотя бы) 75.
Решение.Событие А – попадание в
мишень. По условию задачиn-100,а=75,в=100. Надо найти
.
А) Наивероятнейшее число находим из неравенства:
Для вычисления вероятности
воспользуемся локальной формулой
Лапласа:
где
Находим
=0,3989.
Искомая вероятность:
.
Б) Вероятность
определяем
по интегральной формуле Лапласа:
;
.
.
Пример 8.Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления стандартных изделий отклонится от вероятности р=0,9 по абсолютной величине не более, чем на 0,03.
Решение.Событие А – стандартное
изделие. По условию задачи р=0,9;q=0,1;n=400;
.
Требуется найти вероятность
Воспользуемся следствием интегральной теоремы Лапласа:
.
Имеем:
