Задания для самостоятельной работы

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное его решение, удовлетворяющее начальному условию при

1) (1)=0

2)

3) -()=0 (0)=1

4). (1)=2

5) (1)=1

6) (1)=2

7) (1)=0

8) (0)=1

9) (2)=-2

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Последовательности и ряды

Примеры рядов.

1) Гармонический ряд - расходится;

2) Обобщенно гармонический ряд - сходится приs >1, расходится при s <1.

3) Ряд - сходится при a >1, расходится при a <1.

4) Ряд сходится.

Исследование сходимости рядов

1) Исследоватьсходимость ряда

Решение

Члены ряда монотонно убывают. Однако, . Следовательно, не выполняется необходимое условие и рядрасходится.

2) Исследоватьсходимость ряда

Решение

Члены ряда монотонно убывают, и , - выполняется необходимый признак. Кроме того, члены ряда меньше соответствующих членов сходящегося обобщенно гармонического ряда. Следовательно, по теореме сравнения исходный рядсходится.

Задания для самостоятельной работы

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему . Найти интервал сходимости и исследовать сходимость ряда на концах этого интервала.

Решение

1) При n=1u₁=,n=2u₂=,n=3u₃=

2) Найдем радиус сходимости Rстепенного ряда, для этого запишем коэффициенты при 4n-го и (n+1)-го членов ряда:

Ряд сходится абсолютно при .

3) Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала:

а) =. Тогда степенной ряд становится числовым с положительными членами. Общий член ряда имеет вид:

u_n=(1)

Полученный ряд расходится как обобщенно гармонический с показателем меньше единицы. Значит, при числовой ряд расходится, и точкане входит в область сходимости исходного степенного ряда. б). Тогда степенной ряд становится знакочередующимся числовым рядом с общим членом

u_n=(2)

Исследуем его сходимость. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов, члены ряда убывают по абсолютной величине, то есть 1>>> и предел модуля общего члена ряда равен нулю при,то естьlim, заключаем, что полученный знакочередующийся ряд сходится.

Поскольку ряд, составленный из абсолютных членов, т.е. ряд (1) расходится, окончательно заключаем, что ряд (2) сходится условно.

Итак, первоначальный ряд u_n() сходится при<<, приряд сходится условно, для всех остальных действительных значенийряд расходится.

Задания для самостоятельной работы

Исследовать сходимость рядов.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену. Найти область сходимости ряда и исследовать сходимость ряда на конце интервала сходимости:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10)

Форма контроля: Проверка решений задач и заданий

Теория вероятностей

Тема. Основные теоремы теории вероятности

1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий

Пример 1. Мишень состоит из трех зон. Для данного стрелка вероятность попасть в первую зону равна 0,18, во вторую зону – 0,24, в третью зону – 0,33. Определить вероятность поражения мишени при одном выстреле.

Решение. Мишень будет поражена, если стрелок попадет или в первую (событие) или во вторую (событиеA) или в третью (событиеA) зону, т.е. надо вычислить

P(++)=P() +P() +P() = 0,18+ 0,24+0,33=0,75.

2. Теорема умножения вероятностей для независимых событий

Пример 2 . В двух ящиках содержится по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 9 деталей высшего качества. Из каждого ящика на удачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали высшего качества.

Решение.Вероятность того, что из первого ящика вынута деталь высшего качества (событие А):P(А) = 8/10.

Вероятность того, что из второго ящика вынута деталь высшего качества (событие В): P(А) = 9/10.

Т.к. событие инезависимые, то искомая вероятность определяется по теореме умножения вероятностей:

P(А В) =P(А)P(В) == 0,72.

Пример 3. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течении часа потребует внимания рабочего, равна 0,4, для второго – 0,3, для третьего – 0,2. Определить вероятность того, что в течение часа только один станок потребует внимания рабочего.

Решение.По условию задачи имеемP() = 0,4;P() = 0,5;P() = 0,3;P() = 0,7;P() = 0,2;P() = 0,8.

Событие В- потребует внимания рабочего первый станок, равносильно появлению события(появилось первое и не появилось второе и третье события) - В=, аналогично В=, В=.

Таким образом, чтобы найти вероятность того, что только один станок потребует внимания рабочего, будем искать вероятность:

P(В+ В+ В) =P(++) =

P(А)P() x P() + ()P(А)P () +

P()P()P()=0,40,70,8+0,60,30,8+0,60,70,2=0,224+0,144+0,084= 0,452.

События В, В, В- несовместимы, к ним применили теорему сложения вероятности, а т.к. события,,- независимые, применили теорему вероятностей для независимых событий.