Задания для самостоятельной работы

Найти производные функций:

1) а) y =; б)y=2^cos3x+tg3; в)y=e^sin2xln4; г)y =ln; д)y= (2x+3)^tgx;

2) а) y = ; б) y =(3^sin2x – sin² 2x); в) y=2x² cos 3x; г) y =ln; д) y = (1+ cos x )^x;

3) а) y =; б) y =(5^tg2x –x³); в) y =e^-3x sin 4x; г) y =ln; д) y =(x + 2)^sinx ;

4) а) y =; б) y =(2^arcsinx + arcsin2x); в) y =x² sin³ x; г) y =ln;

д) y = (x + 1)^arctgx;

5) а) y =; б) y =(4^tgx – tg 2x); в) y=ln xarctg x; г) y =ln; д) y = (x + sin x)^x;

6) а) y =; б) y =(5^sin2x – cos² 2x); в) y =ln 2x*tg; г) y =ln³;

д) y = (tg 2x)^tg2x;

7) а) y =; б)y =; в) y=cos4x*e^6x; г)y =ln;

д) y = (sin x)^cos3x;

8) а) y = ; б) y =(3^cos2x +cos² x); в) y =arcos xsin 3x; г) y =ln;

д) y = (1-x²) ^sinx;

9) а) y =; б) y =; в) y =e^2x ln tg x; г) y =ln;

д) y = (ctg 4x)^3x;

10) а) y =; б) y =; в) y =sin 4xctg 6x; г) y =ln; д) y =(sin 2x)^tgx.

Полное исследование функции

Полное исследование функции позволяет определить для построения графика характерные точки функции:

• точки разрыва

• точки пересечения кривой с осями координат

• точки экстремума

• точки перегиба

1. 1) Область определения функции (о.о.ф)

2) Точки разрыва и интервалы непрерывности

3) Поведение функции в окрестности точек разрыва; вертикальные асимптоты

4) Точки пересечения кривой с осями координат

5) Чётность или нечётность функции (симметрия графика)

2. Интервалы монотонности функции; точки экстремума;

3. Интервалы выпуклости и вогнутости;

4. Поведение функции на бесконечностях. Наклонная (горизонтальная) асимптота

Пример: Провести исследование функциии построить график

Решение:

1. 1) о.о.ф. :х(-∞ ; -1) (-1 ; 1)(1 ; +∞) так какх²– 1 = 0 т.е.х≠ -1 ,х≠ 1 .

2) х= -1,х= 1 – точки разрыва; функция непрерывна при

х(-∞ ; -1)(-1 ; 1)(1 ; +∞) .

3) Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва. Для этого найдём односторонние пределы в этих точках:

В точке х= -1;

Так как односторонние пределы бесконечны, то х= -1 – точка разрыва второго рода, а значит, график имеет вертикальную асимптоту в виде прямойх= -1 . Причём:

;,

В точке х= 1

Так как односторонние пределы бесконечны, то х= 1 - точка разрыва второго рода, значит, график имеет вертикальную асимптоту в виде прямойх= 1 . Причём:

4) Точки пересечения с осями координат.

С осью Охграфик пересекается в точке (0 ; 0), так каку= 0 имеемх= 0; с осью Оупересекается также в точке (0 ; 0) , так как прих= 0 имеему= 0.

5) Функция является нечётной, поскольку:

А это значит, что график функции симметричен относительно начала координат.

2.Найдём интервалы возрастания и убывания, и точки экстремума функции. Для этого вычислим производную

и приравняем ее нулю, т.е. у′ = 0. Далее решим уравнение

или

Так какх²+ 1 ≠ 0 , то последнее уравнение корней не имеет. Поэтому, данная функция «критических» точек на экстремум не имеет. А значит не имеет точек экстремума. Точки разрыва функциих= -1 ,х= 1 , при которыху′ тоже не существует, разбивают числовую прямую на интервалы монотонности (-∞ ; -1) , (-1 ; 1) , (1 ; +∞) . Проверкой знакау′ в каждом из этих интервалов убеждаемся, чтоу′ везде отрицательна; значит функция во всех трёх интервалах убывающая.

3.Исследуем выпуклость и вогнутость кривой, на точки перегиба. Для этого найдём вторую производную и приравняем её нулю:

т.е.

Так как х²+ 3 ≠ 0 , тоу′′ = 0 только прих= 0 , а прих= -1 их= 1у′′ не существует. Отметим эти точки на числовой прямой и проверим знаку′′ в каждом из интервалов: (-∞ ; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; +∞)

Винтервалах (-∞ ; -1)(0 ; 1) у′′ < 0 , т.е. кривая выпуклая. Прих= 0 кривая имеет точку перегиба,у_пер= 0 . Точких= -1 ,х= 1 не могут быть точками перегиба, так как являются точками разрыва.

4.Исследуем поведение функции на бесконечностях. Для этого вычислим:

Отсюда видно, что прих→ -∞ функция стремится к 0 снизу, а прих→+∞ стремится к 0 сверху.

Найдём наклонную асимптоту в виде прямой: у=kх+b:

Итак, наклонной (горизонтальной, так как k= 0) асимптотой кривой будет прямаяу= 0 – ось Ох

График функции, построенный по результатам исследований приведен на рисунке :