2. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии числа появлений события в n независимых испытаниях

Пример 3.Вероятность изготовления стандартной лампочки 0,85. Определить математическое ожидание и дисперсию числа стандартных лампочек, если партия ламп состоит из 500 штук.

Решение. Обозначим вероятность появления стандартной электрической лампочки р=0,85, тогдаq=1-р=0,15. Исследованоn= 500 шт.

Найдем М (Х) = np= 5000,85 = 425;

D (Х) = npq =5000,850,15=63,75

Ответ М (Х) = 425; D (x) = 63.75

Примечание: Если при составлении закона распределения Х – число наступлений события (вероятности рассчитывает по формуле Бернулли), то числовые характеристики можно вычислить по формулам:

М(Х)=np,D(Х) =npq

Тогда по данным задачи №1: М(Х) = 30,1=0,3;

D(Х) = 30,10,9=0,27

Задания для самостоятельной работы

1) Вероятность возникновения погрешности при изменении равна 0,2. Проведено три измерения. Составить закон распределения случайной величины – числа измерений произведенных без погрешности. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х).

2) Прибор укомплектовывается тремя однотипными блоками. Контролер проверяет последовательно каждый блок на работоспособность. Как только выявляется неработающий блок, прибор бракуется. Составить закон распределения случайной величины – числа проверяемых блоков приборов, если вероятность появления неисправного блока равна 0,1. Найти числовые характеристики: М(Х), D(X).

3) Четыре покупателя входят в магазин. Для каждого покупателя вероятность сделать покупку равна 0,6. составить закон распределения случайной величины - числа покупателей, сделавших покупку. Найти числовые характеристики случайной величины: М(Х), D(X).

4) На экзамене студенту задаются дополнительные вопросы, но не более трех. Как только студент правильно отвечает на заданный вопрос, экзаменатор прекращает задавать дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент правильно ответит на любой заданный вопрос, равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины – числа дополнительных вопросов, заданных студенту. Вычислить: М(Х), D(X).

5) Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течении гарантированного срока равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины – числа телевизоров, которые не потребуют гарантированного ремонта, из пяти проданных телевизоров. Найти числовые характеристики М(Х), D(X).

6) Дается пять попыток включить двигатель до первой успешной попытки. Вероятность того, что двигатель включится равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины – числа попыток, в результате которых можно запустить двигатель. Найти числовые характеристики: М(Х), D(X).

7) Вероятность того, что из двух, телевизионных камер в данный момент включена одна, равна 0,42. В студии имеются 20 телевизионных камер. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

- 18 камер;

- хотя бы 15 камер. (вероятность включения каждой из камер больше 0,5) .

8) Один из видов продукции производится на трех фабриках, входящих в состав производственного объединения. Первая фабрика производит 40% всего выпуска продукции, вторая – 35%, третья – 25%. В продукции первой фабрики обнаружено 30% изделий низкого качества, в продукции второй фабрики - 20%, в продукции третьей фабрики 12%. Какова вероятность того, что среди 500 изделий производственного объединения число изделий высшего качества будет 400 до 410.

9) По данным длительной проверки качества запчастей определенного вида брак составляет 5 %. Изготовлено 500 запчастей. Определить математическое ожидание и дисперсию числа годных запчастей.

10) Всхожесть семян некоторого сорта пшеницы составляет 93%. Определить математическое ожидание и дисперсию числа всходов, если высажено 70 семян.

Пример 1.Случайная величина Х задана интегральной функцией

0, при