Мёртвая вода (2)

Организация (…) управления народным хозяйством

аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интер- претациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неиз- вестными: a1x1 + a2x2 + a3x3 + b = 0 — задаёт плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию — линию их пересечения. Каждая плоскость

рассекает полное бесконечное во все стороны пространство на два “полупространства”, подобно тому, как удар ножом рассекает картофелину пополам. Замена знака равенства ( = ) в уравнении плоскости на знак неравенства (< , > , £ , ³ ) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из рас- смотрения второго. При этом строгое неравенство ( < , > ) исклю- чает из избранного полупространства секущую полное простран- ство плоскость, а нестрогое ( £ , ³ ) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остается прилепленным к одной из половинок “картофелины”).

Много неравенств — это вырезание бесконечно простираю- щимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область — многогранник.

В n-мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n - 1 , называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n-мерном про- странстве вырезают из него гиперплоскостями n-мерную область. Эта область является n-мерным многогранником; причем выпук- лым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрез- ка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.

Картофелина после её обрезки ножом — трехмерный эквива- лент такого n-мерного многогранника. Свойство выпуклости про- является в том, что, если из любой точки на её поверхности кар- тофелину проткнуть прямолинейной спицей в произвольном на- правлении, то спица войдет в картофелину и выйдет из неё только

251

Мёртвая вода

по одному разу: т.е. одно пронзание спицей картофелины на её поверхности оставляет только две дырки.

Аргумент Z функции Min(Z) критерия оптимальности — также линейная функция n переменных:

Z = rTXK = (r1 , r2 , … , rn)(XK 1 , XK 2 , … , XK n)T =

= r1XK 1 + r2XK 2 + … + rnXK n .

То есть скалярное произведение векторов rTXK в ортогональном базисе — также уравнение гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r1 , r2 , … , rn . При этом вектор r=(r1 , r2 , … , rn)T ортогонален (т.е. перпендику- лярен) к гиперплоскости, задаваемой уравнением Z = rT XK . Уда- ленность гиперплоскости от начала системы координат обуслов- лена значением Z , являющимся свободным членом уравнения rT XK - Z = 0. При численно не определенном значении свободного члена Z этого уравнения пространство заполнено “пакетом” па- раллельных гиперплоскостей, каждая из которых “касается” со- седних с нею двух. В трехмерной аналогии это — “слоёный ва- фельный торт”, в котором исчезающе тонкие вафли и прослойки начинки между ними — плоскости, различимые по значению Z каждой из них.

В задаче линейного программирования координаты точек, т.е. конкретный набор значений XK 1 , XK 2 , … , XK n , определяющий значение аргумента Z = rT XK критерия оптимальности Min(Z), могут выбираться только из области, вырезанной всем набором неравенств-ограничений из n-мерного пространства.

То есть в трехмерной аналогии, нам сначала необходимо ори- ентировать в пространстве “слоеный торт” так, чтобы пакет плос- костей имел ориентацию, определяемую значениями r1 , r2 , … , rn

. Ориентация “торта” в пространстве предполагает, что слои его

могут быть расположены вовсе не параллельно по отношению к плоской поверхности стола, на которую помещен “торт”. Потом этот “торт” следует обрезать “ножом”, как того требуют неравен- ства-ограничения. И после этого, если на столе что-то останет-

252

Организация (…) управления народным хозяйством

ся1, из обрезанного пространственно ориентированного “слоёно-

го торта”, следует вынуть одну из плоскостей (“вафель” или “про- слоек”), в которой достигается наименьшее (или наибольшее: Min(Z)=Max(-Z)) из значений аргумента Z критерия оптимально- сти: Z = r1XK 1 + r2XK 2 + … + rnXK n . Поскольку на поверхности стола должна быть известна точка, соответствующая началу коор- динат (например один из углов столешницы), то, чтобы выделить искомое решение, придется вынуть из “торта” плоскость, самую близкую к ней (или самую удаленную от неё), так как экстремаль- ное значение Min(Z) или Max(Z) однонаправленно обусловлены удаленностью от начала координат. Расстоянием между точкой и плоскостью в трехмерном пространстве является перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.

Так как “торт” прошел обрезку, то искомая плоскость (вафля или прослойка) может быть представлена либо, как точка-крошка, лежащая в одной из вершин вырезанного из “слоёного торта” многогранника; либо как тонкая полоска-ребро многогранника, по которому пресекаются его грани; либо как одна из граней много- гранника, совпадающая по направленности с ориентацией пакета параллельных плоскостей. Вариант решения определяется про- странственной ориентацией слоев и характером обрезки “торта” ножами-ограничениями.

Однако задача может и не иметь решений, если ограничения противоречат одно другим; например: X1 < 1 и X1 > 3. На первом шаге обрезки пространственно ориентированного “слоеного тор- та” ограничение X1 < 1 сметает со стола за ненадобностью всё, где X1 > 3; на втором шаге обрезки X1 > 3 сметает со стола всё, ос- тавшееся после первой обрезки, поскольку оно расположено там, где X1 < 3 . При такой обрезке “торта” на столе просто ничего не останется, но и это не является решением задачи, поскольку в ней необходимо удовлетворить взаимно исключающим требованиям.

Если задача имеет решение, то одна из вершин многогранника принадлежит решению. Даже, если решение выглядит геометри- чески, как одна из граней или ребро, то все решения, принадле-

1 На столе может и ничего не остаться в случае, если требования к геометрии многогранника, задаваемые неравенствами-ограничениями, взаимно исключают одно другие.

253

Мёртвая вода

жащие такому множеству оптимальных решений, формально математически неразличимы по критерию оптимальности Min(Z) или Max(Y) , так как значение Z либо Y в пределах таких ребра или грани — неизменны. В таком случае выбор оптимального из

множества математически оптимальных решений предполагает рассмотрение каждого из решений во множестве математически оптимальных с учётом информации, которой не нашлось места в формально математической модели.

Соответственно процесс поиска решения задачи линейного программирования, оптимального в смысле достижения Min или Max линейного критерия, сводится к последовательному перебору конечного числа вершин выпуклого многогранника и выбору экс- тремального из множества значений Z, достигаемого в них.

Аналогичное утверждение доказано в линейной алгебре мате- матически строго для n-мерного пространства. Алгоритм перебора вершин n-мерного выпуклого многогранника и выбора в них экс- тремального значения критерия оптимальности называется сим- плекс-метод. В разных модификациях он известен с 1940 г. Этот

алгоритм также позволяет ответить и на вопросы о совместимости системы ограничений и о существовании решений либо же об отсутствии таковых. То есть работоспособность аппарата линей- ного программирования абстрактно-математически подтвер- ждена уже более, чем 50 лет. А “слоёный пространственно ориен- тированный торт” нам потребовался только для наглядности, предметной образности изложения, а те, кому необходимы фор- мально-математические доказательства изложенного и практиче- ские алгоритмы решения, могут найти их в специальной литера- туре.

Мы записали ограничения задачи линейного программирова- ния (ЛП) в виде:

(E - A) XK = FK ³ FK min ,

а не как это принято при математически канонической записи задачи линейного программирования:

(E - A) XK ³ FK min

254

Организация (…) управления народным хозяйством

Дело в том, что при канонической записи задачи ограничения

налагаются явно на левую часть абстрактного математического уравнения, которое по умолчанию в рассматриваемом нами слу-

чае приложения математического аппарата является уравнением межотраслевого баланса реального продуктообмена. В реальном же продуктообмене непосредственный интерес представляет вы- полнение FK ³ FK min , а не обусловленность вектора конечной про- дукции FK вектором валовых мощностей XK и матрицей A . По- скольку вектор FK является в нашем контексте идентификатором, уже несущим определенный экономический смысл, который мо-

жет выпасть из восприятия читателя при записи ограничений в обычном для математического канона их виде (E - A) XK ³ FK min , то нами избрана такая форма напоминания, хотя чисто формаль- но математически правая и левая части уравнения равноправны, а решать задачу ЛП-П придется в канонической записи: т.е. по от- ношению к левой части уравнения продуктообмена.

Практически в каждой книге, в которой рассматривается ли- нейное программирование (ЛП), излагается теория двойственно- сти. Её смысл сводится к следующему: задаче ЛП

математически объективно соответствует задача ЛП:

îНайти Min(bTy)

Вэтой паре задач любая из них может рассматриваться в каче- стве прямой задачи, и в таком случае вторая задача получает на- звание двойственной. Решения прямой и двойственной задач вза- имно обусловлены: т.е. по решению одной, на основании теории двойственности линейного программирования, можно судить о решении ей парной задачи.

255

Мёртвая вода

В зависимости от характера ограничений, определяющих раз- мерность матрицы1 A (количество в ней строк и столбцов), чисто алгоритмически одна из задач в паре может требовать существен- но меньших объемов вычислений, что позволяет на основе теории двойственности в ряде случаев значительно сократить время ре- шения задачи.

По отношению к ранее выписанной задаче ЛП-П, описываю- щей межотраслевой баланс продуктообмена в натуральном учете, двойственная ей задача ЛП записывается так:

î Найти Max( Y ), Y = FK min 1 P1 + FK min 2 P2 + … + FK min n Pn

Это задача рентабельности (отсюда дополнительное мнемо- ническое обозначение «-Р»). Она описывает ценовые соотношения при спектрах производства XK и FK , поскольку связана с уравне- нием реальных2 и/или равновесных цен, или неких абстрактных “теневых” цен (в зависимости от интерпретации в ней перемен- ных).

В первой её строке слева от знака неравенства стоит несколько измененное уравнение равновесных цен (3): вектор долей добав- ленной стоимости обрел в нём мнемонический индекс «зст», ука- зующий на взаимную обусловленность того явления, которое принято называть «закон стоимости», и входящих в компоненты вектора долей добавленной стоимости функционально обуслов- ленных расходов отраслей. Обычно первую строку приведенной задачи ЛП математически канонически записывают так:

1Размерность матрицы — количество в ней строк и столбцов. Век- тор-столбец — матрица с одним столбцом.

2«Уравнение реальных цен» — строгий термин. Если при подстанов- ке в уравнение равновесных цен (3) реальных прейскуранта и вектора долей добавленной стоимости равенство нарушается, то можно получить значение вектора «M» — сальдо, невязки межотраслевого баланса. Если

этот вектор невязки включить в качестве составляющей в вектор долей добавленной стоимости, то уравнение равновесных цен станет уравнени- ем реальных цен, полезным для некоторых видов межотраслевого анали- за.

256

Организация (…) управления народным хозяйством

(E - AT) P ≤ r

В нашем случае отказ от математически канонической формы записи задачи линейного программирования обусловлен тем, что

при следовании этой форме ограничения явно относятся к левой части уравнения равновесных цен, в которой отражен продукто- обмен, в то время как на уровне макроэкономики интерес пред- ставляют ограничения, налагаемые на правую — чисто финансо- вую — часть уравнения равновесных цен, в которой натуральные показатели продуктообмена отраслей не присутствуют ни прямо, ни в их финансовом выражении.

С начала 1950-х гг. известна теорема: «Если в оптимальном решении прямой задачи неравенство № k выполняется как строгое (т.е. имеет место выполнение условия « > » или « < » вместо воз- можного равенства или неразрешимости задачи), то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно ну- лю».

Также с начала 1950-х гг. известны экономические интерпре- тации теории двойственности. Обычно в них в качестве прямой задачи рассматривается некая задача продуктообмена ЛП-П, в которой переменные интерпретируются как объемы ресурсов, во- влекаемых в производственный процесс. Тогда в качестве двойст- венной выступает задача рентабельности ЛП-Р, в которой пере- менные интерпретируются как некие цены1 соответствующих ре- сурсов.

Такая интерпретация: в прямой задаче переменные — объемы продукции или ресурсов в их натуральном учете; в двойственной задаче переменные — цены — стала традиционной, общеизвест- ной, общепринятой. Смотри, например, Ю.П.Зайченко “Исследо- вание операций” (Киев, “Вища школа”, 1979 г.) — рядовой учеб-

ник для вузов; “Математическая экономика на персональном компьютере” под ред. М.Кубонива (пер. с японского, Москва, “Финансы и статистика”, 1991 г., японское изд. 1984 г.) — лик-

1 В данном случае “цены” получили эпитет “некие” потому, что дале-

ко не все экономические интерпретации линейного программирования основаны на реальных ценах рынка, но во многих употребляются цено- подобные параметры, получаемые из экспертных оценок экономической задачи как таковой.

257

Мёртвая вода

без-справочник — «практическое пособие по активному изучению основ рыночной экономики», как сообщается в аннотации к изда- нию для русскоязычных.

Приведенная теорема в такого рода интерпретациях обретает экономическое выражение: если объём некоего ресурса в опти- мальном решении прямой задачи превышает ограничения, то цена ресурса в оптимальном решении двойственной задачи — ноль. Это — общеизвестное на протяжении не менее сорока лет в миро- вой литературе утверждение, ставшее привычным:

Ю.П.Зайченко, стр. 88: «Если некоторый ресурс bi имеется в избытке и i-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то оно становится несущественным и оптимальная цена соответ- ствующего ресурса равна 0».

М.Кубонива, стр. 244: «Кроме того, симплексный критерий из задачи (LP1-D — обозначение в книге двойственной задачи) оз- начает, что ресурс k, существующий в количестве, превышающем оптимально используемый объём, становится свободным ресур- сом, и его цена обращается в нуль».

Чтобы быть точным и не извращать по умолчанию контекст цитированных источников, следует сделать оговорку: только что

приведенные экономические интерпретации относятся к иным экономическим задачам, не совпадающим с рассматриваемой нами задачей управления многоотраслевым народным хозяйст- вом как целостностью, во-первых, в биосферно допустимом и, во-вторых, в общественно приемлемом режиме.

В обоих цитированных источниках рассматриваются задачи оптимизации управления частной структурой в объемлющей её хозяйственной системе. Иными словами, в них рассматривается задача, как выйти на рынок со своей продукцией и не прогореть. Соответственно переменные прямой задачи (продуктообмена), не совпадающей с нашей, интерпретируются в них как расходуемые, ограниченные объемы ресурсов, доступных структуре в процессе производства ею продукции; а переменные двойственной задачи (рентабельности), также не совпадающей с нашей, интерпретиру- ются как цены на употребление этих ресурсов.

Тем не менее, с точки зрения бухгалтерии (по-русски: счето- водства), учитывающей расходы в процессе ведения производст-

258

Организация (…) управления народным хозяйством

ва, нет разницы между платой за употребление ресурсов и опла- той продукции поставщиков. Поэтому для нас важны не экономи- ческие задачи, рассмотренные в цитированных источниках с при- влечением аппарата линейного программирования, а то обстоя-

тельство, что, если в микроэкономических интерпретациях (по отношению к структурно обособленной частной фирме) перемен- ные прямой задачи интерпретируются как объемы, то переменные двойственной задачи интерпретируются как цены.

Но несмотря на давность и общеизвестность среди специали- стов такого рода экономических интерпретаций линейного про- граммирования, мировая экономическая наука более чем за сорок

лет не сделала единственно возможного осмысленного вывода из теории двойственности в её приложениях к задачам управления (и

организации саморегуляции) многоотраслевыми производствен- но-потребительскими системами, рассматриваемыми как цело- стность:

ПРЕЙСКУРАНТ внутреннего рынка многоотраслевой произ- водственно-потребительской системы на продукцию и услуги личного, семейного и общественного внепроизводственного потребления — ВЕКТОР ОШИБКИ УПРАВЛЕНИЯ ЕЮ, в его финансовом выражении.

Это утверждение, высказанное в редакции “Мёртвой воды” 1991 г. интуитивно по здравому смыслу достаточно общей теории управления, имеет и строгое метрологическое обоснование на основе теории двойственности линейного программирования.

Оно справедливо и по отношению к народному хозяйству в це- лом. Если пользоваться сложившейся к настоящему времени тер- минологией “экономической науки”, то это уровень “макроэконо- мики”, на котором двойственная (по отношению к задаче продук- тообмена) задача линейного программирования — задача рента- бельности — так и не нашла управленчески осмысленной интер- претации более чем за сорок лет: срок более чем достаточный.

Задача рентабельности также может рассматриваться в качест- ве прямой, и в этом случае приведенная теорема выражается сле- дующим образом: «Если технологический процесс № k оказывает- ся строго невыгодным с точки зрения оптимальных цен, то в оп- тимальном решении задачи продуктообмена интенсивность ис-

259

Мёртвая вода

пользования соответствующего технологического процесса долж- на быть равна нулю». И этому подводится итог: «Таким образом, теорема выражает принцип рентабельности оптимально организо- ванного производства». — Ю.П.Зайченко, стр. 88.

Это — интерпретация уровня “микроэкономики”. Такая ин- терпретация допустима на иерархическом уровне, соответствую-

щем в суперсистеме народного хозяйства всякой частной фирме,

использующей аппарат линейного программирования для выбора ею из перечня многих технологий какого-то определённого набо- ра, на основе которого ею планируется вести производство впредь.

Она допустима1 по отношению к любой структурно обособлен- ной производственной системе, не обладающей качеством само-

достаточности в смысле производства в ней продукции и её по-

требления, при решении задачи о наиболее выгодном с финансо- вой точки зрения участии в продуктообмене на рынке со сложив- шимся прейскурантом; а также для оптимизации экспортно- импортного баланса, подчиненной долговременной концепции внешней политики государства.

Но попытка интерпретировать задачу «ЛП-Р, ЛП-П» в смысле цитированной теоремы, на уровне целостности народного хозяй- ства приводит к абсурдным результатам, подобным следующему выводу: если в феврале тарифы на коммунальные услуги не по- зволяют их окупить, а платежеспособности населения не хватает, чтобы оплатить их по тарифам, обеспечивающим рентабельность, то… — Отопление жилья нецелесообразно и его должно прекра- тить2.

В более общей интерпретации такого рода получается, что не-

заменимая отрасль в целостности народного хозяйства, в случае её нерентабельности, должна прекратить своё существование; иными словами, в случае нерентабельности незаменимой отрасли

1Но не всегда оправдано применение результатов такой интерпрета- ции, если смотреть на них с точки зрения задачи управления многоот- раслевой производственно-потребительской системой в целом.

2Многие в ходе реформ после 1991 г. убедились, что такого рода воз- зрения — господствующий стиль слабоумия и зловредности реформато- ров.

260