29. Роль простых задач в обучении математике.

В первые школьные годы у ребенка развивается познавательный интерес, познавательная активность, которые не возникают сами по себе. В педагогической практике познавательный интерес рассматривается как внешний стимул, как средство активизации, позволяющие сделать процесс обучения привлекательным. Развитие воображения и творческих возможностей – главная задача начального образования, пронизывающая все этапы развития личности ребенка, пробуждает инициативность и самостоятельность принимаемых решений, привычку к свободному самовыражению, уверенность в себе. Благодаря познавательному интересу, ребенок лучше усваивает знания, которые должны увеличиваться не за счет дополнительной нагрузки на учащихся, а через совершенствование форм и методов, обработку содержания обучения. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая их, учащиеся приобретают математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение текстовых задач и в воспитании личности, поэтому учитель должен иметь глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, уметь решать такие задачи разными способами.  Целью данной работы является изучение, нахождение, формирование разных способов решения текстовых задач. Достижение данной цели предполагает решение следующего круга задач:

- изучение литературы по данной проблеме; - выявление, осуществление и применение разных методов и приемов на уроках математики        для развития познавательного интереса при решении текстовых задач.

Виды простых задач

Предлагаемая ниже классификация простых арифметических задачсоставлена на следующих основаниях: а) установлены исходные задачи, б) из каждой исходной задачи путем ее преобразования составлены две новые взаимно обратные задачи. Над множествами (совокупностями) предметов могут быть выполнены следующие практические операции: объединение двухконечных множеств в одно, удаление части множества, сравнение двух множеств. Те же операции могут быть выполнены и над конкретными значениями той или иной величины, например над длинами отрезков. Исходя из этих соображений, в качестве исходных задач на сложение и вычитание можно выделить следующие задачи: Задачи, в которых требуется найти сумму чисел, обозначающих совокупности предметов или значения величин.  Задачи, в которых требуется найти остаток, то есть узнать, сколько останется, если от одного числа отнять другое число.  Задачи, в которых требуется найти разность, то есть узнать: а) на сколько одно число больше другого; б) на сколько одно число меньше другого? (Эти задачи можно считать двумя разновидностями одной задачи.) Каждая простая задача может быть преобразована в новую, если искомое задачи принять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразуемой задачи считать искомым в новой задаче. Такие задачи, в которых одно из данных первой служит искомым во второй и искомое первой входит в число данных второй, называют взаимно обратными. Из каждой исходной задачи путем ее преобразования можно получить две обратные задачи, которые вместе с исходной составят группу из трех взаимно обратных задач. Виды простых задач на сложение и вычитание. 1. Ученик сделал 4 красных флажка и 3 зеленых. Сколько всего флажков сделал ученик? В задаче требуется анйти сумму 1а. Ученик сделал 7 флажков, из них несколько красных и 3 зеленых. Сколько красных флажков сделал ученик? В задаче требуется найти первое слагаемое. 1б. Ученик сделал 7 флажков, из них 4 красных и несколько зеленых. Сколько зеленых флажков сделал ученик? В задаче требуется найти второе слагаемое 2 девочка истратила на покупку булочки 2 ру. и у нее осталось 3 рубСколько рублей было у девочки до покупки? В задаче требуется найти уменьшаемое по вычитаемому и остатку. 2а. У девочки было пять руб. Она потратила на покупку булочки 2 руб. Сколько рублей у нее осталось. В задаче требуется найти остаток 2б. У девочки было 5 руб. Когда она истратила несколько рублей на покупку булочки, у нее осталось 3 руб. Сколько рублей истратила девочка на покупку? В задаче требуется найти вычитаемое. 3. Когда школьник приехал в лагеоь, он весил 24 кг. После отдыха он стал весить на 2 кг. больше. Сколько стал весить школьник после отдыха в лагере? В задаче требуется найти число на нескольок единиц больше данного. 3а. Когда школьник приехал в лагеоь, он весил 24 кг. После отдыха в лагере он стал весить 26 кг. На сколько килограммов больше стал весить школьник после отдыха в лагере? В задаче требуется найти разность по вопросу На сколько больше? 3б. После отдыха в лагере школьник стал весить 26 кг, на 2 кг. больше, чем он весил до отдыха. Сколько весил школьникдо отдыха? В задаче требуется найти меньшее число по большему и разности, показывающей, на скольок данное число больше искомого. 4. Школьники посадили на участке 5 лип, на 10 меньше чем кленов. Сколько кленов посадили школьники? В задаче требуется анйти большее число по меньшему числу и разности, показывающей на сколько данное число меньше искомого.  4а. Школьники посадили на участке 5 лип и 15 кленов. На скольок меньше лип, чем кленов, посадили школьники? В задаче требуется анйти разность по вопросу На сколько меньше. 4б. Школьники посадили на участке 15 кленов, а лип на 10 меньше. Сколько лип опсадили школьники? В задаче требуется найти число на несколько единиц меньше данного. По аналогии с таблицей простых задач на сложение и вычитание может быть составлена таблица простых задач на умножение и деление в их взаимной связи. В качестве исходных возьмем следующие задачи: задача на нахождение произведения, то есть суммы одинаковых слагаемых; задача на деление на равные части; две задачи на нахождение кратного отношения: а) по вопросу «во сколько раз больше?», б) по вопросу «во сколько раз меньше?» (эти задачи можно считать разновидностями одной задачи). В первом столбце помещены задачи, решаемые умножением, во втором и третьем — задачи, решаемые делением. Исходные задачи обозначены римскими цифрами, обратные — римскими цифрами с буквами. Задачи сформулированы в отвлеченной форме, чтобы яснее выступало их отличие от задач других видов. К указанным выше задачам можно было бы присоединить еще три задачи: одну прямую и две обратные. Это задачи: на нахождение дроби числа, на нахождение числа по данной его дроби какую часть одного числа составляет другое число. Но эти задачи, как требующие действий над дробными числами, по существу выходят за пределы программы начального обучения. Приведенная выше классификация простых задач не является единственно возможной. Простые задачи можно классифицировать и на иных основах, что и делается авторами различных методических руководств (Н. С. Поповой, Н. П. Никитиным, Г. Б. Поляком, А. С. Пчелко и др.). Но как бы простые задачи ни классифицировались, в конечном счете у всех авторов-методистов получается приблизительно одно и то же число одинаковых простых задач. В приведенной выше классификации отчетливо показаны простые задачи в их взаимосвязи и дан наиболее полный их перечень. Следует отметить, что в указанных таблицах простые задачисистематизированы по математическому принципу, который еще не определяет собой их методической системы: исходные задачи в школьной практике далеко не всегда решаются первыми. Например, дети сначала знакомятся с задачей на увеличение числа на несколько единиц, а потом уже с задачей на разностное сравнение чисел, то есть они сначала решают обратную, по данной классификации задачу, а потом уже исходную (прямую). Рассмотрим особенности простых задач, в которых встречаются выражения больше на... или меньше на ..., обозначающие, что данное число на несколько единиц больше или. меньше искомого. Возьмем для примера следующие две простые задачи: Сыну 7 лет, а отец на 23 года старше сына. Сколько лет отцу? Сыну 7 лет, и он на 23 года моложе отца. Сколько лет отцу? Решение первой задачи основано на истолковании смысла выражения на ... больше, как имеющего значение: столько же и еще,..., что приводит к необходимости выполнить сложение. Для решения второй задачи ее условие следует переформулировать так, как оно изложено в первой задаче, заменив выражение моложе на ... противоположным по смыслу старше на .... В самом деле, если одно число меньше другого на несколько единиц, то второе число больше первого на столько же единиц. Особенность этих видов простых задач на сложение и вычитание и аналогичных им, решаемых умножением и делением, заключается, таким образом, в том, что для отыскания способа их решения необходимо предварительно переформулировать условие задачи. По своему характеру простые задачи могут быть подразделены па следующие группы: 1. Задачи, при решении которых выбор арифметического действия производится на основе использования опыта ученика в операциях со множествами предметов, когда ученику приходилось в играх и в других видах деятельности объединять множество предметов, удалять из определенного множества часть предметов, объединять по нескольку множеств одинаковой численности, делить (разлагать) данное множество предметов на новые множества одинаковой численности, делить данное множество предметов на равные части. Это задачи на нахождение суммы, остатка, произведения, частного (деление на равные части), делителя (деление по содержанию). 2. Задачи на нахождение неизвестных компонентов сложения, вычитания, умножения, деления, при решении которых арифметическое действие находится на основе не только операций со множествами предметов, но и простейших умозаключений. Например, чтобы узнать: Сколько было саженцев до их посадки, если известно, что посадили 5 саженцев, а осталось их 3? — ученик рассуждает: «Осталось 3 саженца, значит, они были до посадки; да еще были и те 5, которые посадили; до посадки было 3 саженца, да 5 саженцев, всего 8 саженцев». 3. Задачи, в содержание которых в качестве данного или искомого входят разность или отношение: задачи на нахождение разности по вопросам: На сколько больше?, На сколько меньше?, на нахождение отношения по вопросам Во сколько раз больше?, Во сколько раз меньше?, задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и в несколько раз. Для решения этих задач дети должны понимать смысл указанных выше вопросов, соответствующих выражений («на несколько единиц больше», «в несколько раз больше» и т. п.) и осознать выражаемые ими понятия. 4. Задачи, для решения которых необходимо применить переформулировку условия: задачи, в которых выражения «больше»(«меньше») указывают, что данное число больше (меньше) искомого на несколько единиц или в несколько раз. Для установления последовательности задач при изучении решения их необходимо учитывать эти особенности.

30. Приемы первоначального ознакомления учащихся с составными задачами.

При изучении в I классе второго десятка дети впервые знакомятся с задачами в два действия, то есть с составными задачами. Составная задача — это задача, которая решается двумя и более действиями. Однако нельзя представлять себе дело так, что механическое соединение двух простых задач в одну задачу уже есть составная задача. Вот, например, задача, состоящая из двух простых: «Старшая сестра сорвала 5 васильков и 4 ромашки, а младшая 6 васильков и 2 ромашки. Сколько цветков сорвала каждая сестра?» Это не составная задача, хотя она и «составлена» из двух простых задач. В составной задаче, решаемой двумя действиями, ответ первой задачи необходим для решения второй. Ответ первой задачи называется поэтому промежуточным искомым. Это промежуточное искомое связывает вторую задачу с первой. В отличие от механического соединения двух простых задач в составной задаче связь между простыми задачами не только сюжетная, но и арифметическая. В чем же выражается внешняя, уловимая для ученика разница между простой и подлинно составной задачей? Простая задача решается сразу, одним действием. При механическом соединении нескольких простых задач дело сводится к тому, что главный вопрос без труда расчленяется на несколько частных вопросов, из которых каждый решается сразу, одним действием. Главный вопрос составной задачи нельзя решить сразу. В этом ее специфика. Следует ли при первоначальном знакомстве с составными задачами отправляться от простых задач, из которых затем строится составная, или же целесообразнее идти от готовой задачи в два действия к составляющим ее простым задачам? Предпочтительнее второй прием. В самом деле, уловимая для семилетнего ребенка специфика составной задачи заключается в том, что ее-нельзя решить сразу, одним действием. Если нанизывать простые задачи одну за другой на какую-нибудь сюжетную нить, дети будут воспринимать их как отдельные простые задачи, поскольку каждая из них решается сразу, одним действием. Арифметическую зависимость второй задачи от первой они так и не почувствуют, никакой разницы между простой и составной задачей не заметят. Наоборот, если при первом знакомстве с составной задачей отправляться от готовой задачи в два действия, разница между простой и составной задачей выступит с полной отчетливостью. Для начала можно взять такую задачу, которую удобно проиллюстрировать на предметах. В коробку положили 6 красных карандашей и 4 зеленых. Потом взяли из коробки 7 карандашей. Сколько карандашей осталось в коробке? Для большой убедительности «6 к.» можно записать красным мелом, а «4 к.» — зеленым. Рамки нарисованы белым мелом, вычитаемое «7 к.» также написано белым мелом,, поскольку неизвестно, какого цвета карандаши входят в это число. Вопрос задачи не записывается, так как дети в это время еще не смогли бы его прочитать. Сообщив задачу, учитель показывает детям сначала 6 красных карандашей, затем 4 зеленых. Карандаши должны быть снаружи соответствующего цвета. Дети пересчитывают каждую группу карандашей, учитель складывает их в коробку. Дети не видят, сколько их всего: промежуточное искомое скрыто в коробке. Затем учитель вынимает 7 карандашей, которые также следует пересчитать. Главное искомое остается скрытым в коробке. Прослушав задачу, учащиеся повторяют ее сначала по наводящим вопросам, затем целиком. Выделив после этого вопрос задачи, они решают ее в уме, как решали до этого времени простые задачи. У всех получился правильный ответ: в коробке осталось 3 карандаша. Можно проверить, так ли это. Да, в коробке действительно лежит 3 карандаша, в этом можно убедиться воочию. Учитель. Как мы узнали, что в коробке осталось три карандаша? Ученик. От десяти карандашей мы отняли семь карандашей, и получилось три карандаша. Учитель (указывая на доску, где записаны числовые данные). От десяти карандашей? Но такого числа нет в задаче. Ученик. К шести карандашам надо прибавить четыре карандаша и получится десять карандашей. Учитель. Что мы узнали, складывая шесть карандашей и четыре карандаша? Ученик. Мы узнали, сколько было всего карандашей в коробке. Учитель. Вот видите, сначала мы узнали, сколько было всего карандашей в коробке,— это первый вопрос, а потом узнали, сколько карандашей осталось,— это второй вопрос. Итак, сколько же вопросов в этой задаче? Ученик. В этой задаче два вопроса. Далее учитель подчеркивает, что задачи иногда решаются одним действием. Но бывают задачи, которые нельзя решить сразу — приходится сделать сначала одно действие, потом другое, например сначала сложить, потом отнять. С этого времени перед решением каждой задачи дети прежде всего устанавливают, можно ли решить ее сразу. Если выясняется, что это невозможно, учитель спрашивает: «А что можно узнать сразу?» Так дети начинают впервые применять простейший разбор задачи. От полной предметной наглядности можно перейти к плакату или рисунку на доске. Вместе с тем можно несколько углубить тот простейший разбор, которым мы пользовались в самом начале. «В большом мешке было 10 кг луку, а в маленьком 7 кг. Продали 15 кг. Сколько килограммов луку осталось?» Учитель. Можно ли сразу узнать, сколько луку осталось? Ученик. Нет, нельзя. Учитель. Почему нельзя узнать этого сразу? Ученик. Потому что мы не знаем, сколько было всего луку. Учитель. А сколько было всего луку, можно узнать сразу? Ученик. Да, это можно узнать сразу. Вопрос почему заполняет тот логический пробел, который при простейшем разборе получается между вопросом: «Можно ли узнать сразу?» и вопросом: «А что можно узнать сразу?» Привыкнув к вопросу почему?, дети начинают разбирать задачу, не ожидая этого вопроса. Они говорят: «Сразу нельзя узнать, сколько луку осталось, потому что мы не знаем, сколько было всего луку». Большое значение имеет такой разбор при решении задач с выражениями больше или меньше на столько-то. Задачи простые этого рода дети зачастую пробуют решать двумя действиями, а составные — одним действием. Это объясняется тем, что учитель не приучил их вдумываться в вопрос задачи, не спрашивает, можно ли сразу решить этот вопрос. Во втором полугодии дети решают задачи в два действия на сложение, вычитание, умножение и деление. В это время следует познакомить их с терминами простая задача и составная задача. Простая задача решается сразу, одним действием. Составную задачу нельзя решить сразу, она решается двумя действиями. Дети должны сами давать такие объяснения. Решив составную задачу, дети строят простые задачи, на которые им пришлось расчленить данную составную. Этот прием дает возможность осмыслить термины простая задача и составная задача. Простая задача решается сразу, одним действием, а составная состоит из двух простых задач.