1.1.2. Алгебра випадкових подій.

ПодіяА B(A+B), яка полягає в тому, що наступає принаймні одна з подійА абоB, називаєтьсяобєднанням (сумою)цих подій (мал.1.4.а,б,в).

Подія А  B(A·B), яка полягає в тому, що наступають обидві подіїА таB, називаєтьсяперерізом (добутком)цих подій (мал.1.4.а,б,г).

Із визначення операцій та випливають такі співвідношення:

А АА,А  АА,А ,А А,А  (B С)(А  B) (А С).

Операції та пов‘язані одна з одною двома важливими формулами:

а) , б). (1)

Далі будуть зустрічатись системи, які з точки зору їх надійності складаються з послідовно або паралельно з’єднаних елементів (блоків). До відмови системи в цілому призводить у першому випадку відмова будь-якого одного елемента, у другому – відмова всіх її елементів.

Приклад 1. Нехай подіяА_iполягає у тому, щоi-тийелемент схеми справний. Потрібно виразити черезА_iподіюА, яка полягає в тому, що схема, показана на мал.1.5, також справна.

Розв’язок. а) Система справна, якщо справна хоч одна з гілок I і II. Подія, яка полягає у функціонуванні гілки I виражається добуткомА₁·А₂. Таким чином,АА₁·А₂+А₃. б) Система справна при умові функціонування обох гілок I і II. Подія, яка полягає у функціонуванні гілки I виражається сумоюА₂+А₃. ТомуАА₁·(А₂+А₃).

Означення 1.ПодіїА та B називаютьсянесумісними, якщо їх переріз є неможливою подією.

Якщо А та B несумісні, то несумісні такожА·C і B·C.

Попарно несумісні події А_i(i1,2,...,n) утворюютьповну систему подій(розбиття), якщо їх сума є вірогідною подією:

А₁+А₂+...+А_n А_i·А_k   (ik).

Події А іАутворюють повну систему подій.

Приклад 2. Проводяться два постріли по мішені. Позначимо черезА_i(i1,2) подію, що полягає у попаданні по мішені приi-томупострілі. Потрібно виразити черезА_iподіїАта B, які відповідно означають, що в мішені буде: а) точно одна пробоїна; б) хоча б одна пробоїна.

Розв’язок. а)А  (доданки суми є несумісними подіями); б)А А₁+А₂ (доданки суми є сумісними подіями) абоА  (доданки суми є несумісними подіями, але не утворюють повної системи подій).

Приклад 3. Три локатори проводять пошук цілі. Позначимо через_i(i1,2,3) подію, що полягає у знаходженні ціліi-тимлокатором. Потрібно виразити через_iподії, які відповідають умові, що ціль зафіксовано: а) тільки першим локатором; б) хоча б одним локатором; в) лише одним локатором; г) не більше, ніж одним локатором.

Розв’язок. Множинаелементарних подій складається з восьми точок:

а) А₁ ₂;

б) А₂₁+₂+₃ \₁;

в) А₃ ₂+₃+₄;

г) А₄₁+₂+₃+₄.

1.2. Аксіоми та властивості ймовірності

1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події

Ймовірність події A – це число, яке характеризує можливість (долю впевненості) появи цієї події в розглядуваному випробуванні (досліді, експерименті). Іноді ймовірність того чи іншого результату випробування неважко знайти, якщо цей експеримент є симетричним по відношенню до будь-якого можливого результату. Наприклад ясно, що у випробуванні з підкиданням правильної монети можливості випадання герба і ціни одинакові (рівні) і тому цілком природно рахувати, що ймовірність випадання герба дорівнює 1/2.

Частотний підхід до визначення ймовірності полягає в слідуючому. Нехай А– подія, пов’язана з деяким випробуванням. Якщо приn-кратному повторенні випробування подіяАнаступаєn_Aразів, точастотоюподіїАуданій серіївипробувань називається відношенняn_A/n. Частота випадковим чином змінюється від однієї серії до іншої. Однак, якщо довжини серій достатньо великі, то відповідні частоти мало відрізняються одна від іншої (властивість стійкості частоти) і групуються навколо деякого числаp, яке є ймовірністю події A. При зростанні n відхилення n_A/n від ймовірності зменшується для переважної більшості серій. Тому частота може бути використана для обчислення ймовірності. Наприклад, у трьох серіях підкидання монети отримані такі результати: із 4040 підкидань герб випав 2048 разів, із 12000 – 6019 разів, 24000 – 12012 разів. Відповідні частоти 0.5080, 0.5016, 0.5005 надзвичайно близькі до ймовірності p0.5.

Теорія ймовірностей розроблює прийоми, які дозволяють в задачі, що розглядається, за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірності інших подій (більш складних), які утворюються з перших за допомогою операцій обєднання, перерізу, заперечення. При цьому одержані результати мають практичне значення лише тоді, коли задані вихідні ймовірності близькі до відповідних частот у достатньо довгих серіях випробувань.

Можна побудувати всю теорію ймовірності на понятті частоти, але загально прийнятим нині є аксіоматичний підхід до побудови теорії, запропонований у 1933 році одним із найбільш визначних математиків нашого століття А.Н.Колмогоровим.