- •Конспект лекцій з курсу
- •Математичної статистики “ Розділ “теорія ймовірностей”.
- •Передмова
- •1.Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.1. Випадкові події та їх алгебра
- •1.1.1. Первісні поняття. Подія
- •1.1.2. Алгебра випадкових подій.
- •1.2. Аксіоми та властивості ймовірності
- •1.2.1. Частота та ймовірність випадкової події
- •1.2.2. Аксіоми ймовірності та її властивості.
- •1.2.3. Принцип практичної вірогідності
- •1.3. Теорема множення та її наслідки
- •1.3.1. Умовна ймовірність
- •1.3.2. Формула повної ймовірності
- •1.3.3. Теорема гіпотез (формулиБейєса)
- •1.4. Випробування із скінченною кількістю наслідків
- •1.4.1. Класичне означення ймовірності
- •1.4.2. Комбінаторні методи підрахунку кількості наслідків
- •1.5. Повторні випробування
- •1.5.1. Схема я.Бернуллі. Узагальнення а.Маркова
- •1.5.2. Асимптотичні формули для схеми Бернуллі.
- •2.Випадкові величини
- •2.1. Одновимірні випадкові величини
- •2.1.1. Випадкова величина та її функція розподілу
- •2.1.2. Дискретні випадкові величини
- •2.1.3. Неперервні випадкові величини
- •2.1.4. Перетворення розподілів
- •2.2. Випадкові вектори
- •2.2.1. Функція розподілу випадкового вектора
- •2.2.2. Дискретний випадковий вектор
- •2.2.3. Неперервний випадковий вектор
- •2.2.4. Найважливіші види двовимірних розподілів.
- •2.2.5. Закон розподілу суми випадкових величин
- •2.2.6. Ентропія і інформація
- •3.Числові характеристики випадкових величин
- •3.1. Математичне сподівання та його властивості
- •3.1.1. Стійкість середнього арифметичного
- •3.1.2. Математичне сподівання випадкової величини
- •3.1.3. Математичне сподівання функції випадкової величини
- •3.1.4. Математичне сподівання функції випадкового вектора
- •3.1.5. Кореляційний момент випадкових величин
- •3.2. Дисперсія випадкової величини
- •3.2.1. Дисперсія випадкової величини та її властивості
- •3.2.2. Дисперсія суми випадкових величин
- •3.2.3. Нерівність п.Чебишева
- •3.3. Кореляція
- •3.3.1.Коефіцієнт кореляції та кореляційна матриця
- •3.3.2. Регресія
- •3.4. Прикладні задачі
- •3.4.1. Теорія масового обслуговування.
- •3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності
- •Додатки
- •Література
1.5. Повторні випробування
1.5.1. Схема я.Бернуллі. Узагальнення а.Маркова
Багато прикладних задач (наприклад, контроль якості) зводяться до слідуючої схеми.
Розглядається серія із n незалежних випробувань з двома можливими наслідками, в кожному з яких подія A може відбуватись з імовірністю p (випробування незалежні, якщо ймовірність будь-якого наслідку будь-якого випробування не залежить від того, які були наслідки інших випробувань). Нехай Aj (j1,2,...,n) позначає подію, що означає наставання події A у j-му випробуванні. Тоді кожну з 2n елементарних подій серії можна зобразити у вигляді добутку n множників, кожен з яких дорівнює Aj або .
Теорема. Ймовірністьpn(k) того, що у серії з n випробовувань подія настає k раз, задається рівністю
. (1)
Доведення. Події, що нас цікавить, сприяють ті елементарні події, у яких події Aj спостерігаються k раз, а події – (n – k) раз (наприклад, ,і т.п.).В силу незалежності подійAj ймовірність кожної такої елементарної події на підставі теореми множення ймовірностей дорівнює pk(1– p)n-k.Оскільки подібних елементарних подій буде, то з урахуванням їх несумісності і теореми додавання ймовірностей остаточно одержимо
.
Приклад 1. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з п’яти символів буде спотворено: а) два символи; б) не більше одного символу.
Розв’язок. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n=5 і p=0.12.
а) k=2 і на підставі формули (1) маємо
·0.122·0.883= 0.098;
б) k0 або k1 і тому ймовірність дорівнює
P5(0)+ P5(1)= 0.885+ 5·0.12·0.884=0.5377+ 0.3598= 0.888.
Приклад 2. На кожному з двох крил літака установлені по два двигуни, кожен з яких може вийти з ладу під час польоту незалежно один від одного з імовірністю p0.1. Яка ймовірність того, що політ закінчиться нормально, якщо: а) літак може летіти на будь-яких двох двигунах; б) літак може летіти при умові, що на кожному крилі працює хоча б один двигун.
Розв’язок. Позначимо через A подію, яка полягає у тому, що політ закінчиться нормально.
а) Нехай Dk – подія, яка полягає у тому, що під час польоту вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2,3,4) двигуни. Тоді , де подіїD3 і D4 несумісні. Таким чином, . При обчисленніP(D3) і P(D4) скористаємося схемою Бернуллі при n=4 і p=0.1:
P(D3)= p4(3)= ·p3 ·(1– p)= 4·(0.1)3·0.9= 0.0036;
P(D4)= p4(4)= ·p4 ·(1– p)0=4·(0.1)4=0.0001.
Тому P(A)=1–P()=1– 0.0036– 0.0001=0.996.
б) Нехай Пk (Лk) – подія, яка полягає у тому, що під час польоту на правому (лівому) крилі вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2) двигуни.
Тоді подію A можна представити у вигляді суми несумісних подій: A=П1·Л0+П0·Л1+П1·Л1+П0·Л0. При обчисленні P(П0)=P(Л0) і P(П1)=P(Л1) скористаємося схемою Бернуллі при n=2 і p=0.1:
P(П0)=p2(0)=·p0 ·(1– p)2=(0.9)2=0.81;
P(П1)=p2(1)=·p·(1– p)=2·0.1·0.9=0.18.
Таким чином, з урахуванням незалежності подій Пk і Лj одержимо:
P(A)=P(П1)·P(Л0)+P(П0)·P(Л1)+P(П1)·P(Л1)+P(П0)·P(Л0)=
= 0.18·0.81+0.81·0.18+0.18·0.18+0.81·0.81= 0.98.
Важливим узагальненням схеми Бернуллі є схема однорідного ланцюга А.Маркова. У цьому випадку припускаємо, що ймовірність будь-якого наслідку у j-му випробуванню залежить лише від наслідку попереднього (j-1)-го випробування, але не залежить ні від j (номера випробування) ні від наслідків випробувань з номерами j–2, j–3,...,1. Введемо позначення:
,,,.
Якщо подіямAта поставити у відповідність станиE1 та E2 деякої системи, то граф переходу цієї системи з одного стану в інший матиме вигляд, показаний на малюнку 1.16. Вершинами графа є стани системи, а стрілка з числомpik,що йде з вершиниEiу вершинуEk,означає, що умовна ймовірність переходу із стануEi у станEk дорівнюєpik.У цьому випадку числаpik називаються ймовірностями переходу зі стану Ei у стан Ek, а матриця – матрицею перехідних ймовірностей. (У випадку послідовності незалежних випробувань матриця перехідних ймовірностей має вигляд).
Позначимо через ймовірність переходу зі стануEi у стан Ek за n випробувань, а через –матрицю переходу за n випробувань. Із формули повної ймовірності випливає співвідношення
.
Можна показати, що якщо всі елементи pikматриці перехідних ймовірностейPдодатні, то приn → ∞існують і не залежать від початкового стануEiграниці ймовірностей переходу:
.