Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Консп_лекц_Ймовірн1.doc
Скачиваний:
100
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.63 Mб
Скачать

1.5. Повторні випробування

1.5.1. Схема я.Бернуллі. Узагальнення а.Маркова

Багато прикладних задач (наприклад, контроль якості) зводяться до слідуючої схеми.

Розглядається серія із n незалежних випробувань з двома можливими наслідками, в кожному з яких подія A може відбуватись з імовірністю p (випробування незалежні, якщо ймовірність будь-якого наслідку будь-якого випробування не залежить від того, які були наслідки інших випробувань). Нехай Aj (j1,2,...,n) позначає подію, що означає наставання події A у j-му випробуванні. Тоді кожну з 2n елементарних подій серії можна зобразити у вигляді добутку n множників, кожен з яких дорівнює Aj або .

Теорема. Ймовірністьpn(k) того, що у серії з n випробовувань подія настає k раз, задається рівністю

. (1)

Доведення. Події, що нас цікавить, сприяють ті елементарні події, у яких події Aj спостерігаються k раз, а події – (n – k) раз (наприклад, ,і т.п.).В силу незалежності подійAj ймовірність кожної такої елементарної події на підставі теореми множення ймовірностей дорівнює pk(1– p)n-k.Оскільки подібних елементарних подій буде, то з урахуванням їх несумісності і теореми додавання ймовірностей остаточно одержимо

.

Приклад 1. Точки та тире телеграфного коду спотворюються незалежно одне від іншого з ймовірністю 0.12. Знайти ймовірність події, яка полягає у тому, що в слові з п’яти символів буде спотворено: а) два символи; б) не більше одного символу.

Розв’язок. Задача зводиться до схеми Бернуллі при n=5 і p=0.12.

а) k=2 і на підставі формули (1) маємо

·0.122·0.883= 0.098;

б) k0 або k1 і тому ймовірність дорівнює

P5(0)+ P5(1)= 0.885+ 5·0.12·0.884=0.5377+ 0.3598= 0.888.

Приклад 2. На кожному з двох крил літака установлені по два двигуни, кожен з яких може вийти з ладу під час польоту незалежно один від одного з імовірністю p0.1. Яка ймовірність того, що політ закінчиться нормально, якщо: а) літак може летіти на будь-яких двох двигунах; б) літак може летіти при умові, що на кожному крилі працює хоча б один двигун.

Розв’язок. Позначимо через A подію, яка полягає у тому, що політ закінчиться нормально.

а) Нехай Dk – подія, яка полягає у тому, що під час польоту вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2,3,4) двигуни. Тоді , де подіїD3 і D4 несумісні. Таким чином, . При обчисленніP(D3) і P(D4) скористаємося схемою Бернуллі при n=4 і p=0.1:

P(D3)= p4(3)= ·p3 ·(1– p)= 4·(0.1)3·0.9= 0.0036;

P(D4)= p4(4)= ·p4 ·(1– p)0=4·(0.1)4=0.0001.

Тому P(A)=1–P()=1– 0.0036 0.0001=0.996.

б) Нехай Пk (Лk) – подія, яка полягає у тому, що під час польоту на правому (лівому) крилі вийдуть із ладу лише k (k= 0,1,2) двигуни.

Тоді подію A можна представити у вигляді суми несумісних подій: A=П1·Л0+П0·Л1+П1·Л1+П0·Л0. При обчисленні P(П0)=P(Л0) і P(П1)=P(Л1) скористаємося схемою Бернуллі при n=2 і p=0.1:

P(П0)=p2(0)=·p0 ·(1– p)2=(0.9)2=0.81;

P(П1)=p2(1)=·p·(1 p)=2·0.1·0.9=0.18.

Таким чином, з урахуванням незалежності подій Пk і Лj одержимо:

P(A)=P(П1P(Л0)+P(П0P(Л1)+P(П1P(Л1)+P(П0P(Л0)=

 = 0.18·0.81+0.81·0.18+0.18·0.18+0.81·0.81= 0.98.

Важливим узагальненням схеми Бернуллі є схема однорідного ланцюга А.Маркова. У цьому випадку припускаємо, що ймовірність будь-якого наслідку у j-му випробуванню залежить лише від наслідку попереднього (j-1)-го випробування, але не залежить ні від j (номера випробування) ні від наслідків випробувань з номерами j–2, j–3,...,1. Введемо позначення:

,,,.

Якщо подіямAта поставити у відповідність станиE1 та E2 деякої системи, то граф переходу цієї системи з одного стану в інший матиме вигляд, показаний на малюнку 1.16. Вершинами графа є стани системи, а стрілка з числомpik,що йде з вершиниEiу вершинуEk,означає, що умовна ймовірність переходу із стануEi у станEk дорівнюєpik.У цьому випадку числаpik називаються ймовірностями переходу зі стану Ei у стан Ek, а матриця – матрицею перехідних ймовірностей. (У випадку послідовності незалежних випробувань матриця перехідних ймовірностей має вигляд).

Позначимо через ймовірність переходу зі стануEi у стан Ek за n випробувань, а через –матрицю переходу за n випробувань. Із формули повної ймовірності випливає співвідношення

.

Можна показати, що якщо всі елементи pikматриці перехідних ймовірностейPдодатні, то при→ ∞існують і не залежать від початкового стануEiграниці ймовірностей переходу:

.