Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Консп_лекц_Ймовірн1.doc
Скачиваний:
100
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.63 Mб
Скачать

3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності

Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.

Нехай випадкова величина T – час роботи системи (або окремого її вузла) до моменту втрати працездатності (до відмови). Важливою характеристикою працездатності є математичне сподівання часу безвідмовної роботи MT.

Приклад 1. Показати, щоMT=, деP(t) – функція надійності (пункт 2.1.3, зауваження).

Розв’язок. Нехайp(t) – щільність ймовірності випадкової величиниT. Тодіp(t)=.Використавши формулу інтегрування по частинах, одержимо

.

ОскількиP(+)=0, то .

Приклад 2. Час безвідмовної роботи кожного із двох незалежних паралельно з’єднаних елементів (навантажений резерв) розподілений за показниковим законом з параметрами1і2відповідно. Знайти середній час безвідмовної роботи блока (мал. 3.9).

Розв’язок. Із теорем додавання і множення ймовірностей випливає, що

P(t)=P1(t)+P2(t) P1(t)·P2(t),

де P(t),P1(t),P2(t) – відповідно функції надійності блока, першого і другого елемента. ОскількиP1(t)=, P2(t)= (пункт 2.1.3, зауваження), то

P(t)= .

Таким чином, середній час безвідмовної роботи блоку на підставі результату прикладу 1 дорівнює

.

Якщо 1=2=, тоMT=3/(2), що у півтора рази перевищує час безвідмовної роботи одного елемента.

Приклад 3. Система складається із двох паралельно з’єднаних незалежних елементів. Час безвідмовної роботи кожного розподілений за показниковим законом з параметрами1і2відповідно. До моменту виходу із ладу елемента 1 елемент 2 вимкнено. Він включається в роботу в момент виходу із ладу елемента 1 (ненавантажений резерв). Знайти функцію надійності системи і середній час роботи блоку до відмови.

Розв’язок. НехайT1іT2відповідно час безвідмовної роботи першого і другого елементів,T– час безвідмовної роботи системи (мал.3.10). ТодіT=T1+T2 і, таким чином, на підставі результату прикладу 1 маємо

(тут P1(t),P2(t) – функції надійності першого і другого елементів відповідно). Функцію надійності системиP(t) знайдемо таким чином:

P(t)=1-FT(t)=1–P{T<t}=1–P{T1+T2< t}.

Оскільки щільності ймовірностей незалежних випадкових величин T1іT2 відомі, то щільність ймовірності їх сумиT=T1+T2можна знайти за формулою (12) розділу 2.2. При цьому потрібно замінити границі інтегрування:

–∞ на 0 внаслідок додатності T1, а +∞ наz внаслідок додатностіT2:

.

Тепер знайдемо ймовірність P{T1+T2< t}:

P{T1+T2< t}=P{T< t}=

==

=1–.

І, нарешті, P(t)=1– (1–)=.

Якщо 1=2=, то на підставі формули (13) розділу 2.2pT (t)=λ2t·e-λt·1(t), і, таким чином,

P(t)=

.

При цьому MT=.

Додатки

Таблиця 1.

Значення функції

.

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

0.0

0.00000

0.05

0.01994

1.05

0.35314

2.05

0.47982

0.10

0.03983

1.10

0.36433

2.10

0.48214

0.15

0.05962

1.15

0.37493

2.15

0.48422

0.20

0.07926

1.20

0.38493

2.20

0.48610

0.25

0.09871

1.25

0.39435

2.25

0.48778

0.30

0.11791

1.30

0.40320

2.30

0.48928

0.35

0.13683

1.35

0.41149

2.35

0.49061

0.40

0.15542

1.40

0.41924

2.40

0.49180

0.45

0.17364

1.45

0.42647

2.45

0.49286

0.50

0.19146

1.50

0.43319

2.50

0.49379

0.55

0.20884

1.55

0.43943

2.55

0.49461

0.60

0.22575

1.60

0.44520

2.60

0.49534

0.65

0.24215

1.65

0.45053

2.65

0.49598

0.70

0.25804

1.70

0.45543

2.70

0.49653

0.75

0.27337

1.75

0.45994

2.75

0.49702

0.80

0.28814

1.80

0.46407

2.80

0.49744

0.85

0.30234

1.85

0.46784

2.85

0.49781

0.90

0.31594

1.90

0.47128

2.90

0.49813

0.95

0.32894

1.95

0.47441

2.95

0.49841

1.00

0.34134

2.00

0.47725

3.00

0.49865

3.1

0.49903

3.2

0.49931

3.3

0.49952

3.4

0.49966

3.5

0.49977

3.6

0.49984

3.7

0.49989

3.8

0.49993

3.9

0.49995

4.0

.499968

4.5

.499997

5.0

.49999997

Таблиця 2.

Значенняt(n-1), які задовольняють рівнянню, де – щільність розподілу Стьюдента зn–1 ступенями свободи.

n

2

6.3138

4.4645

12.7062

8.9846

63.6567

45.0121

3

2.9200

1.6859

4.3027

2.4842

9.9248

5.7301

4

2.3534

1.1767

3.1824

1.5912

5.8409

2.9204

5

2.1318

0.9534

2.7764

1.2416

4.6041

2.0590

6

2.0105

0.8226

2.5706

1.0494

4.0321

1.6461

7

1.9432

0.7345

2.4469

0.9248

3.7074

1.4013

8

1.8946

0.6698

2.3646

0.8360

3.4995

1.2373

9

1.8595

0.6198

2.3060

0.7687

3.3554

1.1185

10

1.8331

0.5719

2.2622

0.7154

3.2498

1.0277

11

1.8125

0.5465

2.2281

0.6718

3.1693

0.9556

12

1.7959

0.5184

2.2010

0.6354

3.1058

0.8966

13

1.7823

0.4943

2.1788

0.6043

3.0545

0.8472

14

1.7709

0.4733

2.1604

0.5774

3.0123

0.8051

15

1.7613

0.4548

2.1448

0.5534

2.9768

0.7686

16

1.7530

0.4382

2.1314

0.5328

2.9467

0.7367

17

1.7459

0.4234

2.1199

0.5142

2.9208

0.7084

18

1.7396

0.4100

2.1098

0.4973

2.8982

0.6831

19

1.7341

0.3978

2.1009

0.4820

2.8784

0.6604

20

1.7291

0.3866

2.0930

0.4680

2.8609

0.6397

21

1.7247

0.3764

2.0860

0.4552

2.8453

0.6204

22

1.7207

0.3669

2.0796

0.4434

2.8314

0.6037

23

1.7171

0.3580

2.0739

0.4324

2.8188

0.5878

24

1.7139

0.3498

2.0687

0.4224

2.8073

0.5730

25

1.7109

0.3422

2.0639

0.4129

2.7969

0.5535

26

1.7081

0.3350

2.0595

0.4039

2.7874

0.5467

27

1.7056

0.3282

2.0555

0.3956

2.7787

0.5348

28

1.7033

0.3219

2.0518

0.3878

2.7707

0.5236

29

1.7011

0.3159

2.0484

0.3804

2.7633

0.5131

30

1.6991

0.3102

2.0452

0.3734

2.7564

0.5032

32

1.6956

0.2997

2.0396

0.3606

2.7442

0.4851

35

1.6909

0.2858

2.0322

0.3435

2.7284

0.4612

40

1.6849

0.2664

2.0227

0.3198

2.7083

0.4282

Граничні значення t(n–1)приn+ :

t0.1(+)=1.6449, t0.05(+)=1.9600, t0.01(+)=2.5758.

Вони є коренями рівняння 2Ф()=1– при=0.1, 0.05, 0.01.

Таблиця 3.

Значення χk2(ε), які задовольняють рівнянню

,

де – щільність розподілу χ2зkступенями свободи.

k

χk2(0.1)

χk2(0.05)

χk2(0.01)

1

2.71

3.84

6.63

2

4.61

5.99

9.21

3

6.25

7.81

11.3

4

7.78

9.49

13.3

5

9.24

11.1

15.1

6

10.6

12.6

16.8

7

12.0

14.1

18.5

8

13.4

15.5

20.1

9

14.7

16.9

21.7

10

16.0

18.3

23.2

11

17.3

19.7

24.7

12

18.5

21.0

26.2

13

19.8

22.4

27.7

14

21.1

23.7

29.1

15

22.3

25.0

30.6

16

23.5

26.3

32.0

17

24.8

27.6

33.4

18

26.0

28.9

34.8

19

27.2

30.1

36.2

20

28.4

31.4

37.6

21

29.6

32.7

38.9

22

30.8

33.9

40.3

23

32.0

35.2

41.6

24

33.2

36.4

43.0

25

34.4

37.7

44.3

30

40.3

43.8

50.9

35

46.1

49.8

57.3

40

51.8

55.8

63.7

Таблиця 4.

n

ε=0.1

ε=0.05

ε=0.01

z0.1(1)(n)

z0.1(2)(n)

z0.05(1)(n)

z0.05(2)(n)

z0.01(1)(n)

z0.01(2)(n)

2

0.260

254

0.199

1018

0.127

25400

3

0.334

19.4

0.271

39.5

0.189

200

4

0.384

8.52

0.321

13.89

0.234

41.8

5

0.421

5.63

0.360

8.26

0.268

19.3

6

0.450

4.35

0.391

6.02

0.299

12.1

7

0.476

3.66

0.417

4.84

0.324

8.88

8

0.496

3.23

0.438

4.14

0.345

7.08

9

0.516

2.93

0.457

3.67

0.364

5.97

10

0.533

2.70

0.474

3.33

0.381

5.20

11

0.546

2.54

0.488

3.08

0.397

4.63

12

0.558

2.41

0.502

2.88

0.410

4.23

13

0.571

2.29

0.515

2.73

0.424

3.91

14

0.580

2.21

0.526

2.59

0.436

3.64

15

0.591

2.13

0.536

2.49

0.447

3.44

16

0.600

2.07

0.545

2.40

0.457

3.26

17

0.608

2.01

0.556

2.32

0.466

3.11

18

0.616

1.96

0.563

2.25

0.476

2.98

19

0.623

1.92

0.571

2.19

0.484

2.88

20

0.631

1.88

0.578

2.13

0.492

2.78

21

0.637

1.83

0.585

2.09

0.500

2.69

22

0.642

1.81

0.592

2.04

0.507

2.62

23

0.649

1.79

0.598

2.00

0.514

2.55

24

0.653

1.76

0.604

1.97

0.520

2.48

25

0.659

1.74

0.609

1.94

0.526

2.43

30

0.681

1.64

0.634

1.80

0.554

2.22

Таблиця5.

Значення Fn,m(ε), які задовольняють рівнянню ,

де – щільність ймовірності розподілу Фішера зn і mступенями свободи

(n кількість ступенів свободи для більшої дисперсії).

ε=0.05

Кількість ступенів свободи для більшої дисперсії

n

m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,35

19,37

19,38

19,40

19,41

19,43

19,45

19,45

19,46

19,47

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

8,79

8,74

8,70

8,66

8,64

8,62

8,59

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

6,00

5,96

5,91

5,86

5,80

5,77

5,75

5,72

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

4,82

4,77

4,74

4,68

4,62

4,56

4,53

4,50

4,46

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,21

4,15

4,10

4,06

4,00

3,94

3,87

3,84

3,81

3,77

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,79

3,73

3,68

3,64

3,57

3,51

3,44

3,41

3,38

3,34

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,50

3,44

3,39

3,35

3,28

3,22

3,15

3,12

3,08

3,04

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

3,14

3,07

3,01

2,94

2,90

2,86

2,83

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

2,98

2,91

2,85

2,77

2,74

2,70

2,66

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

2,85

2,79

2,72

2,65

2,61

2,57

2,53

12

4,75

3,89

3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

2,80

2,75

2,69

2,62

2,54

2,51

2,47

2,43

13

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

2,83

2,77

2,71

2,67

2,60

2,53

2,46

2,42

2,38

2,34

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

2,65

2,60

2,53

2,46

2,39

2,35

2,31

2,27

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,71

2,64

2,59

2,54

2,48

2,40

2,33

2,29

2,25

2,20

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,66

2,59

2,54

2,49

2,42

2,35

2,28

2,24

2,19

2,15

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,61

2,55

2,49

2,45

2,38

2,31

2,23

2,19

2,15

2,10

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,58

2,51

2,46

2,41

2,34

2,27

2,19

2,15

2,11

2,06

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,54

2,48

2,42

2,38

2,31

2,23

2,16

2,11

2,07

2,03

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,51

2,45

2,39

2,35

2,28

2,20

2,12

2,08

2,04

1,99

25

4,24

3,39

2,99

2,76

2,60

2,49

2,40

2,34

2,28

2,24

2,16

2,09

2,01

1,96

1,92

1,87

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21

2,16

2,09

2,01

1,93

1,89

1,84

1,79

ε=0.025

Кількість ступенів свободи для більшої дисперсії

n

m

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

2

38,51

39,00

39,17

39,25

39,30

39,33

39,36

39,37

39,39

39,40

39,41

39,43

39,45

39,46

39,46

39,47

3

17,44

16,04

15,44

15,10

14,88

14,73

14,62

14,54

14,47

14,42

14,34

14,25

14,17

14,12

14,08

14,04

4

12,22

10,65

9,98

9,60

9,36

9,20

9,07

8,98

8,90

8,84

8,75

8,66

8,56

8,51

8,46

8,41

5

10,01

8,43

7,76

7,39

7,15

6,98

6,85

6,76

6,68

6,62

6,52

6,43

6,33

6,28

6,23

6,18

6

8,81

7,26

6,60

6,23

5,99

5,82

5,70

5,60

5,52

5,46

5,37

5,27

5,17

5,12

5,07

5,01

7

8,07

6,54

5,89

5,52

5,29

5,12

4,99

4,90

4,82

4,76

4,67

4,57

4,47

4,41

4,36

4,31

8

7,57

6,06

5,42

5,05

4,82

4,65

4,53

4,43

4,36

4,30

4,20

4,10

4,00

3,95

3,89

3,84

9

7,21

5,71

5,08

4,72

4,48

4,32

4,20

4,10

4,03

3,96

3,87

3,77

3,67

3,61

3,56

3,51

10

6,94

5,46

4,83

4,47

4,24

4,07

3,95

3,85

3,78

3,72

3,62

3,52

3,42

3,37

3,31

3,26

11

6,72

5,26

4,63

4,28

4,04

3,88

3,76

3,66

3,59

3,53

3,43

3,33

3,23

3,17

3,12

3,06

12

6,55

5,10

4,47

4,12

3,89

3,73

3,61

3,51

3,44

3,37

3,28

3,18

3,07

3,02

2,96

2,91

13

6,41

4,97

4,35

4,00

3,77

3,60

3,48

3,39

3,31

3,25

3,15

3,05

2,95

2,89

2,84

2,78

14

6,30

4,86

4,24

3,89

3,66

3,50

3,38

3,29

3,21

3,15

3,05

2,95

2,84

2,79

2,73

2,67

15

6,20

4,77

4,15

3,80

3,58

3,41

3,29

3,20

3,12

3,06

2,96

2,86

2,76

2,70

2,64

2,59

16

6,12

4,69

4,08

3,73

3,50

3,34

3,22

3,12

3,05

2,99

2,89

2,79

2,68

2,63

2,57

2,51

17

6,04

4,62

4,01

3,66

3,44

3,28

3,16

3,06

2,98

2,92

2,82

2,72

2,62

2,56

2,50

2,44

18

5,98

4,56

3,95

3,61

3,38

3,22

3,10

3,01

2,93

2,87

2,77

2,67

2,56

2,50

2,44

2,38

19

5,92

4,51

3,90

3,56

3,33

3,17

3,05

2,96

2,88

2,82

2,72

2,62

2,51

2,45

2,39

2,33

20

5,87

4,46

3,86

3,51

3,29

3,13

3,01

2,91

2,84

2,77

2,68

2,57

2,46

2,41

2,35

2,29

25

5,69

4,29

3,69

3,35

3,13

2,97

2,85

2,75

2,68

2,61

2,51

2,41

2,30

2,24

2,18

2,12

30

5,57

4,18

3,59

3,25

3,03

2,87

2,75

2,65

2,57

2,51

2,41

2,31

2,20

2,14

2,07

2,01