3.4.2. Найпростіші задачі теорії надійності
Головне питання теорії надійності полягає в визначенні ймовірнісних характеристик працездатності системи, якщо відома її структура і ймовірносні характеристики працездатності окремих елементів.
Нехай випадкова величина T – час роботи системи (або окремого її вузла) до моменту втрати працездатності (до відмови). Важливою характеристикою працездатності є математичне сподівання часу безвідмовної роботи MT.
Приклад 1.
Показати, щоMT=
,
деP(t)
– функція надійності (пункт 2.1.3,
зауваження).
Розв’язок.
НехайpT (t)
– щільність ймовірності випадкової
величиниT. ТодіpT (t)=
.Використавши формулу інтегрування по
частинах, одержимо
.
О
скількиP(+)=0,
то
.
Приклад 2. Час безвідмовної роботи кожного із двох незалежних паралельно з’єднаних елементів (навантажений резерв) розподілений за показниковим законом з параметрами1і2відповідно. Знайти середній час безвідмовної роботи блока (мал. 3.9).
Розв’язок. Із теорем додавання і множення ймовірностей випливає, що
P(t)=P1(t)+P2(t) –P1(t)·P2(t),
де P(t),P1(t),P2(t)
– відповідно функції надійності блока,
першого і другого елемента. ОскількиP1(t)=
,
P2(t)=
(пункт 2.1.3, зауваження), то
P(t)=
.
Таким чином, середній час безвідмовної роботи блоку на підставі результату прикладу 1 дорівнює
.
Якщо 1=2=, тоMT=3/(2), що у півтора рази перевищує час безвідмовної роботи одного елемента.
П
риклад 3.
Система складається із двох паралельно
з’єднаних незалежних елементів. Час
безвідмовної роботи кожного розподілений
за показниковим законом з параметрами1і2відповідно. До моменту виходу із ладу
елемента 1 елемент 2 вимкнено. Він
включається в роботу в момент виходу
із ладу елемента 1 (ненавантажений
резерв). Знайти функцію надійності
системи і середній час роботи блоку до
відмови.
Розв’язок. НехайT1іT2відповідно час безвідмовної роботи першого і другого елементів,T– час безвідмовної роботи системи (мал.3.10). ТодіT=T1+T2 і, таким чином, на підставі результату прикладу 1 маємо
(тут P1(t),P2(t) – функції надійності першого і другого елементів відповідно). Функцію надійності системиP(t) знайдемо таким чином:
P(t)=1-FT(t)=1–P{T<t}=1–P{T1+T2< t}.
Оскільки щільності ймовірностей незалежних випадкових величин T1іT2 відомі, то щільність ймовірності їх сумиT=T1+T2можна знайти за формулою (12) розділу 2.2. При цьому потрібно замінити границі інтегрування:
–∞ на 0 внаслідок додатності T1, а +∞ наz внаслідок додатностіT2:
.
Тепер знайдемо ймовірність P{T1+T2< t}:
P{T1+T2< t}=P{T< t}=
=
=
=1–
.
І,
нарешті, P(t)=1– (1–
)=
.
Якщо 1=2=, то на підставі формули (13) розділу 2.2pT (t)=λ2t·e-λt·1(t), і, таким чином,
P(t)=
.
При цьому MT=
.
Додатки
Таблиця 1.
Значення функції
.
-
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
0.0
0.00000
0.05
0.01994
1.05
0.35314
2.05
0.47982
0.10
0.03983
1.10
0.36433
2.10
0.48214
0.15
0.05962
1.15
0.37493
2.15
0.48422
0.20
0.07926
1.20
0.38493
2.20
0.48610
0.25
0.09871
1.25
0.39435
2.25
0.48778
0.30
0.11791
1.30
0.40320
2.30
0.48928
0.35
0.13683
1.35
0.41149
2.35
0.49061
0.40
0.15542
1.40
0.41924
2.40
0.49180
0.45
0.17364
1.45
0.42647
2.45
0.49286
0.50
0.19146
1.50
0.43319
2.50
0.49379
0.55
0.20884
1.55
0.43943
2.55
0.49461
0.60
0.22575
1.60
0.44520
2.60
0.49534
0.65
0.24215
1.65
0.45053
2.65
0.49598
0.70
0.25804
1.70
0.45543
2.70
0.49653
0.75
0.27337
1.75
0.45994
2.75
0.49702
0.80
0.28814
1.80
0.46407
2.80
0.49744
0.85
0.30234
1.85
0.46784
2.85
0.49781
0.90
0.31594
1.90
0.47128
2.90
0.49813
0.95
0.32894
1.95
0.47441
2.95
0.49841
1.00
0.34134
2.00
0.47725
3.00
0.49865
3.1
0.49903
3.2
0.49931
3.3
0.49952
3.4
0.49966
3.5
0.49977
3.6
0.49984
3.7
0.49989
3.8
0.49993
3.9
0.49995
4.0
.499968
4.5
.499997
5.0
.49999997
Таблиця 2.
З
наченняt(n-1),
які задовольняють рівнянню
,
де
– щільність
розподілу Стьюдента зn–1
ступенями свободи.
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6.3138 |
4.4645 |
12.7062 |
8.9846 |
63.6567 |
45.0121 |
|
3 |
2.9200 |
1.6859 |
4.3027 |
2.4842 |
9.9248 |
5.7301 |
|
4 |
2.3534 |
1.1767 |
3.1824 |
1.5912 |
5.8409 |
2.9204 |
|
5 |
2.1318 |
0.9534 |
2.7764 |
1.2416 |
4.6041 |
2.0590 |
|
6 |
2.0105 |
0.8226 |
2.5706 |
1.0494 |
4.0321 |
1.6461 |
|
7 |
1.9432 |
0.7345 |
2.4469 |
0.9248 |
3.7074 |
1.4013 |
|
8 |
1.8946 |
0.6698 |
2.3646 |
0.8360 |
3.4995 |
1.2373 |
|
9 |
1.8595 |
0.6198 |
2.3060 |
0.7687 |
3.3554 |
1.1185 |
|
10 |
1.8331 |
0.5719 |
2.2622 |
0.7154 |
3.2498 |
1.0277 |
|
11 |
1.8125 |
0.5465 |
2.2281 |
0.6718 |
3.1693 |
0.9556 |
|
12 |
1.7959 |
0.5184 |
2.2010 |
0.6354 |
3.1058 |
0.8966 |
|
13 |
1.7823 |
0.4943 |
2.1788 |
0.6043 |
3.0545 |
0.8472 |
|
14 |
1.7709 |
0.4733 |
2.1604 |
0.5774 |
3.0123 |
0.8051 |
|
15 |
1.7613 |
0.4548 |
2.1448 |
0.5534 |
2.9768 |
0.7686 |
|
16 |
1.7530 |
0.4382 |
2.1314 |
0.5328 |
2.9467 |
0.7367 |
|
17 |
1.7459 |
0.4234 |
2.1199 |
0.5142 |
2.9208 |
0.7084 |
|
18 |
1.7396 |
0.4100 |
2.1098 |
0.4973 |
2.8982 |
0.6831 |
|
19 |
1.7341 |
0.3978 |
2.1009 |
0.4820 |
2.8784 |
0.6604 |
|
20 |
1.7291 |
0.3866 |
2.0930 |
0.4680 |
2.8609 |
0.6397 |
|
21 |
1.7247 |
0.3764 |
2.0860 |
0.4552 |
2.8453 |
0.6204 |
|
22 |
1.7207 |
0.3669 |
2.0796 |
0.4434 |
2.8314 |
0.6037 |
|
23 |
1.7171 |
0.3580 |
2.0739 |
0.4324 |
2.8188 |
0.5878 |
|
24 |
1.7139 |
0.3498 |
2.0687 |
0.4224 |
2.8073 |
0.5730 |
|
25 |
1.7109 |
0.3422 |
2.0639 |
0.4129 |
2.7969 |
0.5535 |
|
26 |
1.7081 |
0.3350 |
2.0595 |
0.4039 |
2.7874 |
0.5467 |
|
27 |
1.7056 |
0.3282 |
2.0555 |
0.3956 |
2.7787 |
0.5348 |
|
28 |
1.7033 |
0.3219 |
2.0518 |
0.3878 |
2.7707 |
0.5236 |
|
29 |
1.7011 |
0.3159 |
2.0484 |
0.3804 |
2.7633 |
0.5131 |
|
30 |
1.6991 |
0.3102 |
2.0452 |
0.3734 |
2.7564 |
0.5032 |
|
32 |
1.6956 |
0.2997 |
2.0396 |
0.3606 |
2.7442 |
0.4851 |
|
35 |
1.6909 |
0.2858 |
2.0322 |
0.3435 |
2.7284 |
0.4612 |
|
40 |
1.6849 |
0.2664 |
2.0227 |
0.3198 |
2.7083 |
0.4282 |
Граничні значення t(n–1)приn+ :
t0.1(+)=1.6449, t0.05(+)=1.9600, t0.01(+)=2.5758.
Вони є коренями рівняння 2Ф()=1– при=0.1, 0.05, 0.01.
Таблиця 3.
З
начення
χk2(ε),
які задовольняють рівнянню
,
де
– щільність
розподілу χ2зkступенями свободи.
-
k
χk2(0.1)
χk2(0.05)
χk2(0.01)
1
2.71
3.84
6.63
2
4.61
5.99
9.21
3
6.25
7.81
11.3
4
7.78
9.49
13.3
5
9.24
11.1
15.1
6
10.6
12.6
16.8
7
12.0
14.1
18.5
8
13.4
15.5
20.1
9
14.7
16.9
21.7
10
16.0
18.3
23.2
11
17.3
19.7
24.7
12
18.5
21.0
26.2
13
19.8
22.4
27.7
14
21.1
23.7
29.1
15
22.3
25.0
30.6
16
23.5
26.3
32.0
17
24.8
27.6
33.4
18
26.0
28.9
34.8
19
27.2
30.1
36.2
20
28.4
31.4
37.6
21
29.6
32.7
38.9
22
30.8
33.9
40.3
23
32.0
35.2
41.6
24
33.2
36.4
43.0
25
34.4
37.7
44.3
30
40.3
43.8
50.9
35
46.1
49.8
57.3
40
51.8
55.8
63.7
Таблиця 4.
|
n |
ε=0.1 |
ε=0.05 |
ε=0.01 | ||||
|
z0.1(1)(n) |
z0.1(2)(n) |
z0.05(1)(n) |
z0.05(2)(n) |
z0.01(1)(n) |
z0.01(2)(n) | ||
|
2 |
0.260 |
254 |
0.199 |
1018 |
0.127 |
25400 | |
|
3 |
0.334 |
19.4 |
0.271 |
39.5 |
0.189 |
200 | |
|
4 |
0.384 |
8.52 |
0.321 |
13.89 |
0.234 |
41.8 | |
|
5 |
0.421 |
5.63 |
0.360 |
8.26 |
0.268 |
19.3 | |
|
6 |
0.450 |
4.35 |
0.391 |
6.02 |
0.299 |
12.1 | |
|
7 |
0.476 |
3.66 |
0.417 |
4.84 |
0.324 |
8.88 | |
|
8 |
0.496 |
3.23 |
0.438 |
4.14 |
0.345 |
7.08 | |
|
9 |
0.516 |
2.93 |
0.457 |
3.67 |
0.364 |
5.97 | |
|
10 |
0.533 |
2.70 |
0.474 |
3.33 |
0.381 |
5.20 | |
|
11 |
0.546 |
2.54 |
0.488 |
3.08 |
0.397 |
4.63 | |
|
12 |
0.558 |
2.41 |
0.502 |
2.88 |
0.410 |
4.23 | |
|
13 |
0.571 |
2.29 |
0.515 |
2.73 |
0.424 |
3.91 | |
|
14 |
0.580 |
2.21 |
0.526 |
2.59 |
0.436 |
3.64 | |
|
15 |
0.591 |
2.13 |
0.536 |
2.49 |
0.447 |
3.44 | |
|
16 |
0.600 |
2.07 |
0.545 |
2.40 |
0.457 |
3.26 | |
|
17 |
0.608 |
2.01 |
0.556 |
2.32 |
0.466 |
3.11 | |
|
18 |
0.616 |
1.96 |
0.563 |
2.25 |
0.476 |
2.98 | |
|
19 |
0.623 |
1.92 |
0.571 |
2.19 |
0.484 |
2.88 | |
|
20 |
0.631 |
1.88 |
0.578 |
2.13 |
0.492 |
2.78 | |
|
21 |
0.637 |
1.83 |
0.585 |
2.09 |
0.500 |
2.69 | |
|
22 |
0.642 |
1.81 |
0.592 |
2.04 |
0.507 |
2.62 | |
|
23 |
0.649 |
1.79 |
0.598 |
2.00 |
0.514 |
2.55 | |
|
24 |
0.653 |
1.76 |
0.604 |
1.97 |
0.520 |
2.48 | |
|
25 |
0.659 |
1.74 |
0.609 |
1.94 |
0.526 |
2.43 | |
|
30 |
0.681 |
1.64 |
0.634 |
1.80 |
0.554 |
2.22 | |
Т
аблиця5.
Значення
Fn,m(ε),
які задовольняють рівнянню
,
де
– щільність
ймовірності розподілу Фішера зn
і mступенями свободи
(n – кількість ступенів свободи для більшої дисперсії).
ε=0.05
|
Кількість ступенів свободи для більшої дисперсії | ||||||||||||||||
|
n m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
15 |
20 |
24 |
30 |
40 |
|
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,35 |
19,37 |
19,38 |
19,40 |
19,41 |
19,43 |
19,45 |
19,45 |
19,46 |
19,47 |
|
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,89 |
8,85 |
8,81 |
8,79 |
8,74 |
8,70 |
8,66 |
8,64 |
8,62 |
8,59 |
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,91 |
5,86 |
5,80 |
5,77 |
5,75 |
5,72 |
|
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,77 |
4,74 |
4,68 |
4,62 |
4,56 |
4,53 |
4,50 |
4,46 |
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
4,00 |
3,94 |
3,87 |
3,84 |
3,81 |
3,77 |
|
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,64 |
3,57 |
3,51 |
3,44 |
3,41 |
3,38 |
3,34 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,35 |
3,28 |
3,22 |
3,15 |
3,12 |
3,08 |
3,04 |
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,14 |
3,07 |
3,01 |
2,94 |
2,90 |
2,86 |
2,83 |
|
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,98 |
2,91 |
2,85 |
2,77 |
2,74 |
2,70 |
2,66 |
|
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,85 |
2,79 |
2,72 |
2,65 |
2,61 |
2,57 |
2,53 |
|
12 |
4,75 |
3,89 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,91 |
2,85 |
2,80 |
2,75 |
2,69 |
2,62 |
2,54 |
2,51 |
2,47 |
2,43 |
|
13 |
4,67 |
3,81 |
3,41 |
3,18 |
3,03 |
2,92 |
2,83 |
2,77 |
2,71 |
2,67 |
2,60 |
2,53 |
2,46 |
2,42 |
2,38 |
2,34 |
|
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,76 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,53 |
2,46 |
2,39 |
2,35 |
2,31 |
2,27 |
|
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,71 |
2,64 |
2,59 |
2,54 |
2,48 |
2,40 |
2,33 |
2,29 |
2,25 |
2,20 |
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
2,42 |
2,35 |
2,28 |
2,24 |
2,19 |
2,15 |
|
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,61 |
2,55 |
2,49 |
2,45 |
2,38 |
2,31 |
2,23 |
2,19 |
2,15 |
2,10 |
|
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
2,41 |
2,34 |
2,27 |
2,19 |
2,15 |
2,11 |
2,06 |
|
19 |
4,38 |
3,52 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,54 |
2,48 |
2,42 |
2,38 |
2,31 |
2,23 |
2,16 |
2,11 |
2,07 |
2,03 |
|
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
2,35 |
2,28 |
2,20 |
2,12 |
2,08 |
2,04 |
1,99 |
|
25 |
4,24 |
3,39 |
2,99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,40 |
2,34 |
2,28 |
2,24 |
2,16 |
2,09 |
2,01 |
1,96 |
1,92 |
1,87 |
|
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,33 |
2,27 |
2,21 |
2,16 |
2,09 |
2,01 |
1,93 |
1,89 |
1,84 |
1,79 |
ε=0.025
|
Кількість ступенів свободи для більшої дисперсії | ||||||||||||||||
|
n m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
15 |
20 |
24 |
30 |
40 |
|
2 |
38,51 |
39,00 |
39,17 |
39,25 |
39,30 |
39,33 |
39,36 |
39,37 |
39,39 |
39,40 |
39,41 |
39,43 |
39,45 |
39,46 |
39,46 |
39,47 |
|
3 |
17,44 |
16,04 |
15,44 |
15,10 |
14,88 |
14,73 |
14,62 |
14,54 |
14,47 |
14,42 |
14,34 |
14,25 |
14,17 |
14,12 |
14,08 |
14,04 |
|
4 |
12,22 |
10,65 |
9,98 |
9,60 |
9,36 |
9,20 |
9,07 |
8,98 |
8,90 |
8,84 |
8,75 |
8,66 |
8,56 |
8,51 |
8,46 |
8,41 |
|
5 |
10,01 |
8,43 |
7,76 |
7,39 |
7,15 |
6,98 |
6,85 |
6,76 |
6,68 |
6,62 |
6,52 |
6,43 |
6,33 |
6,28 |
6,23 |
6,18 |
|
6 |
8,81 |
7,26 |
6,60 |
6,23 |
5,99 |
5,82 |
5,70 |
5,60 |
5,52 |
5,46 |
5,37 |
5,27 |
5,17 |
5,12 |
5,07 |
5,01 |
|
7 |
8,07 |
6,54 |
5,89 |
5,52 |
5,29 |
5,12 |
4,99 |
4,90 |
4,82 |
4,76 |
4,67 |
4,57 |
4,47 |
4,41 |
4,36 |
4,31 |
|
8 |
7,57 |
6,06 |
5,42 |
5,05 |
4,82 |
4,65 |
4,53 |
4,43 |
4,36 |
4,30 |
4,20 |
4,10 |
4,00 |
3,95 |
3,89 |
3,84 |
|
9 |
7,21 |
5,71 |
5,08 |
4,72 |
4,48 |
4,32 |
4,20 |
4,10 |
4,03 |
3,96 |
3,87 |
3,77 |
3,67 |
3,61 |
3,56 |
3,51 |
|
10 |
6,94 |
5,46 |
4,83 |
4,47 |
4,24 |
4,07 |
3,95 |
3,85 |
3,78 |
3,72 |
3,62 |
3,52 |
3,42 |
3,37 |
3,31 |
3,26 |
|
11 |
6,72 |
5,26 |
4,63 |
4,28 |
4,04 |
3,88 |
3,76 |
3,66 |
3,59 |
3,53 |
3,43 |
3,33 |
3,23 |
3,17 |
3,12 |
3,06 |
|
12 |
6,55 |
5,10 |
4,47 |
4,12 |
3,89 |
3,73 |
3,61 |
3,51 |
3,44 |
3,37 |
3,28 |
3,18 |
3,07 |
3,02 |
2,96 |
2,91 |
|
13 |
6,41 |
4,97 |
4,35 |
4,00 |
3,77 |
3,60 |
3,48 |
3,39 |
3,31 |
3,25 |
3,15 |
3,05 |
2,95 |
2,89 |
2,84 |
2,78 |
|
14 |
6,30 |
4,86 |
4,24 |
3,89 |
3,66 |
3,50 |
3,38 |
3,29 |
3,21 |
3,15 |
3,05 |
2,95 |
2,84 |
2,79 |
2,73 |
2,67 |
|
15 |
6,20 |
4,77 |
4,15 |
3,80 |
3,58 |
3,41 |
3,29 |
3,20 |
3,12 |
3,06 |
2,96 |
2,86 |
2,76 |
2,70 |
2,64 |
2,59 |
|
16 |
6,12 |
4,69 |
4,08 |
3,73 |
3,50 |
3,34 |
3,22 |
3,12 |
3,05 |
2,99 |
2,89 |
2,79 |
2,68 |
2,63 |
2,57 |
2,51 |
|
17 |
6,04 |
4,62 |
4,01 |
3,66 |
3,44 |
3,28 |
3,16 |
3,06 |
2,98 |
2,92 |
2,82 |
2,72 |
2,62 |
2,56 |
2,50 |
2,44 |
|
18 |
5,98 |
4,56 |
3,95 |
3,61 |
3,38 |
3,22 |
3,10 |
3,01 |
2,93 |
2,87 |
2,77 |
2,67 |
2,56 |
2,50 |
2,44 |
2,38 |
|
19 |
5,92 |
4,51 |
3,90 |
3,56 |
3,33 |
3,17 |
3,05 |
2,96 |
2,88 |
2,82 |
2,72 |
2,62 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
2,33 |
|
20 |
5,87 |
4,46 |
3,86 |
3,51 |
3,29 |
3,13 |
3,01 |
2,91 |
2,84 |
2,77 |
2,68 |
2,57 |
2,46 |
2,41 |
2,35 |
2,29 |
|
25 |
5,69 |
4,29 |
3,69 |
3,35 |
3,13 |
2,97 |
2,85 |
2,75 |
2,68 |
2,61 |
2,51 |
2,41 |
2,30 |
2,24 |
2,18 |
2,12 |
|
30 |
5,57 |
4,18 |
3,59 |
3,25 |
3,03 |
2,87 |
2,75 |
2,65 |
2,57 |
2,51 |
2,41 |
2,31 |
2,20 |
2,14 |
2,07 |
2,01 |