Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Консп_лекц_Ймовірн1.doc
Скачиваний:
100
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
2.63 Mб
Скачать

2.1.4. Перетворення розподілів

Нехай розподіл випадкової величини X є відомим. Потрібно знайти розподіл випадкової величиниY, яка пов’язана з функціональною залежністю Y=g(X) (Y приймає значення g(x), коли X приймає значення x).

1) Випадкова величина X є дискретною. Тоді знаходять сукупність значень випадкової величиниYі ймовірності, з якими ці значення приймаються. У тому випадку, коли серед значеньg(xk) немає однакових, маємоP{Y=g(xk)}=P{X=xk}=pk. Якщо серед значеньg(xk) є однакові, потрібно додавати відповідні ймовірності.

П

X

-2

-1

1

3

p

0.2

0.1

0.4

0.3

риклад 1. Випадкова величина X задана таблицею розподілу:

Знайти таблицю розподілу випадкової величини Y=X2.

Р

Y

1

4

9

p

0.5

0.2

0.3

озв‘язок. Метод побудови таблиці розподілу випадкової величини зрозумілий з мал.2.13: вона має вигляд

2) Випадкова величина X є неперервною. У тому випадку, коли функціяg(x) має оберненуh(y), справедливе співвідношення

, (11)

яке виходить з того, що події {X[x;xx)} та {Y[y;yy)} є еквівалентними (мал.2.14).

Зауваження.Якщо функція не є монотонною, то формулу (11) слід використати на кожному проміжку монотонності а потім об’єднати одержані результати.

Приклад 2. Випадкова величинаXN(a;2). Знайти щільність ймовірності випадкової величини: 1)Y=AX+B; 2)Y=eX.

Розв’язок. 1) Оскільки y=Ax+B, то і . Тому на підставі (11), одержимо

.

Таким чином, YN(aA+B; 2A2).

2) Оскільки оберненою по відношенню до функції exg(x)) є функція ln y h(y) ), то і на підставі формули (11) одержимо

. (12)

Розподіл (12) називається логнормальним. Він використовується при опису амплітуди, потужності та обвідної радіосигналу. Графік логнормального розподілу приведено на мал.2.15.

Приклад 3. Випадкова величинаXN(a;2). Знайти щільність ймовірності випадкової величиниY=X2.

Розв’язок. Функція y=x2 має дві обернені h1(y=,  h2(y= –. Тоді, за формулою (11) з урахуванням зауваження знаходимо

.

Графік цього розподілу при=1 приведено на мал.2.16.

2.2. Випадкові вектори

2.2.1. Функція розподілу випадкового вектора

Якщо кожний наслідок випробування задається упорядкованою сукупні­стю nвипадкових величин, то прийнято говорити проn-вимірнийвипадковий вектор. Виявляється, що для повного опису випадкового вектора потрібно мати не тільки інформацію про властивості його координат а і про їх взаємодію.

Наведемо приклади випадкових векторів: 1) точка попадання у плоску мішень характеризується випадковим вектором , деX таY координати точки попадання в системі координат, розміщеній в площині мішені; 2) стан будь-якого пристрою (від вольтметра до ЕОМ) характеризується сукупністю випадкових величин.

У подальшому найчастіше мова йтиме про двовимірний випадковий вектор .

Функцією розподілу двовимірного випадкового вектора називається задана у площиніxOyфункція така, що

.

2.2.2. Дискретний випадковий вектор

Y

X

y1

y2

...

ym

x1

p11

p12

...

p1m

x2

p21

p22

...

p2m

...

...

...

...

...

xn

pn1

pn2

...

pnm

Якщо обидві координати вектора є дискретними випадковими величинами, то вектор називаютьдискретним випадковим вектором. Дискретний випадковий вектор задається набором значень(xkyj)та ймовірностямиpkj=P{X=xk,Y=yj},з якими ці значення приймаються. Дискретний випадковий вектор, як правило, задають таблицею розподілу.

Ясно, що сума всіх ймовірностей pkjдорівнює одиниці.

У таблиці розподілу випадкового вектора міститься вся інформація про нього. Зокрема, ця таблиця дозволяє знайти розподіл координат вектора.

Оскільки подія {X=xk} складається з суми попарно несумісних подій {X=xk,Y=y1}, {X=xk,Y=y2},..., {X=xk,Y=ym}, то щоб одержати розподіл ймовірностейpkвипадкової величиниXпотрібно просумувати ймовірностіpkj,які стоять уk-мурядку таблиці:

p= P{X=xk= pk1+ pk2+...+pkm . (1)

При сумуванні ймовірностей pkjпо стовпцях знаходимо розподіл ймовірностей випадкової величиниY.

Y

X

-2

-1

2

0

0.15

0.05

0.25

1

0.35

0.2

0

Приклад 1. Знайти розподіл координат випадкового вектора , заданого таблицею розподілу:

Розв’язок. На підставі формули (1) одержуємо розподіли координат X таY:

X

0

1

Y

-2

-1

2

P

0.45

0.55

P

0.5

0.25

0.25

Виникає запитання: чи завжди можливо за розподілом координат зна­йти розподіл вектора? Виявляється, що відповідь на це питання негативна.

Введемо подібно до умовної ймовірності поняття умовного розподілу

. (2)

Випадкові величини X таYназиваютьсянезалежнимитоді, коли при всіх значенняхkтаjсправедливі співвідношення

.

Випадкові величини X таYнезалежні тоді і тільки тоді, коли при всіх значенняхkтаjвиконується рівність

.

Іншими словами, двовимірний розподіл вектора відновлюється по одновимірних розподілах його координат лише у тому випадку, коли координати вектора є незалежними випадковими величинами.

Приклад 2. В умовах прикладу 1 знайти умовні розподіли та з’ясувати питання про те, чи є випадкові величиниX таYзалежними.

Розв’язок. На підставі формули (2) знайдемо умовний розподіл X при Y=2:

.

Аналогічно одержуємо умовний розподіл при Y= –1 таY=2:

,

.

Випадкові величини X таYє залежними, наприклад, тому що

.