2.7.7. Замкнутые системы массового обслуживания (СМО с ожиданием ответа)

До сих пор мы рассматривали такие системы массового обслуживания, где заявки приходили откуда-то извне и интенсивность потока заявок не зависела от состояния самой системы. Сейчас мы рассмотрим системы массового обслуживания другого типа– такие, в которых интенсивность

Примером замкнутой СМО может служить, например, следующая система. Рабочий-наладчик обслуживает m станков. Каждый станок может в любой момент выйти из строя и потребовать обслуживания со стороны наладчика. Интенсивность потока неисправностей каждого станка равнаl. Вышедший из строя станок останавливается. Если в этот момент рабочий свободен, он берется за наладку станка; на это он тратит среднее время tобсл=1/m, где m – интенсивность потока обслуживаний (наладок).

Если в момент выхода станка из строя рабочий занят, станок становится в очередь на обслуживание и ждет, пока рабочий не освободится.

Иными словами, мы имеем СМО с m источниками, каждый из которых может выдать заявку и после этого ожидает окончания обслуживания этой заявки. Если в приведенном примере станки обслуживаются бригадой изn наладчиков, то СМО становится многоканальной.

Другим примером может быть система с центральным процессором и удаленными терминалами. Пользователь, отправивший запрос с терминала не может выдать новый запрос, пока не получит сообщения от процессора

В сущности, любая СМО имеет дело только с ограниченным числом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на поток . заявок Например, поток вызовов на АТС крупного города исходит, в сущности, от ограниченного числа абонентов, но это число так велико, что практически можно считать интенсивность потока заявок независимой от состояний самой АТС (сколько каналов занято в данный момент). В замкнутой же системе массового обслуживания источники заявок, наряду с каналами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.

Построим аналитическую модель такой системы.

Сначала рассмотрим случай с одним обслуживающим прибором и количеством источников равнымm. Состояния будем кодировать числом выданных заявок. Диаграмма интенсивностей переходов для данной

56

системы изображена на рис.2.17.

Рис. 2.17. ДИП для одноканальной замкнутой СМО Определим вероятности состояний.

Найдем характеристики эффективности замкнутой СМО.

Абсолютная пропускная способность – это среднее количество заявок, обслуживаемых каналом в единицу времени. Вычислим эту характеристику. Канал занят обслуживанием заявок с вероятностью

Рзан = 1-Р0 =1-р .

Если он занят, то обслуживает в среднемμ заявок в единицу времени. Таким образом, абсолютная пропускная способность системы

А = (1-р) μ.

Так как каждая заявка, в конце концов, будет обслужена, то относительная пропускная способность q = 1.

Вычислим среднее число заявок, ожидающих обслуживания, иначе — среднее число источников, выдавших заявку и ожидающих ответа. По сути, это количество заявок, находящихся в данный момент в системеLc. Вообще говоря, эту величину можно вычислить непосредственно, по формуле

Lc = 1 ×Р1 + 2 × Р2 +…+ m× Рm,

но проще будет найти ее через абсолютную пропускную способность А. Каждый источник, еще не выдавший заявку, порождает поток заявок с

интенсивностью l. Таких источников m - Lc, а поток, порождаемый ими имеет интенсивность (m - Lc)l. Все эти заявки будут обслужены каналом,

57

Будем кодировать состояния общим числом выданных источниками и еще не обслуженных заявок. Так как источник не может выдать новую заявку до окончания обслуживания предыдущей, то интенсивность общего потока

переходов для данной системы изображена на рис. 2.18.

58

Исходя из уравнения нормировки, определим значение p:

p = [1 + m w + m(m -1) w 2 + ... + m(m -1)(m - 2)...(m - n + 1) w n +

Через вычисленные вероятности может быть определено среднее число занятых каналов:

59