Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
123.PDF
Скачиваний:
59
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.24 Mб
Скачать

2.7.7. Замкнутые системы массового обслуживания (СМО с ожиданием ответа)

До сих пор мы рассматривали такие системы массового обслуживания, где заявки приходили откуда-то извне и интенсивность потока заявок не зависела от состояния самой системы. Сейчас мы рассмотрим системы массового обслуживания другого типа– такие, в которых интенсивность

потока поступающих заявок

зависит от состояния самой . СМОТакие

системы массового обслуживания

называются замкнутыми.

Примером замкнутой СМО может служить, например, следующая система. Рабочий-наладчик обслуживает m станков. Каждый станок может в любой момент выйти из строя и потребовать обслуживания со стороны наладчика. Интенсивность потока неисправностей каждого станка равнаl. Вышедший из строя станок останавливается. Если в этот момент рабочий свободен, он берется за наладку станка; на это он тратит среднее время tобсл=1/m, где m – интенсивность потока обслуживаний (наладок).

Если в момент выхода станка из строя рабочий занят, станок становится в очередь на обслуживание и ждет, пока рабочий не освободится.

Иными словами, мы имеем СМО с m источниками, каждый из которых может выдать заявку и после этого ожидает окончания обслуживания этой заявки. Если в приведенном примере станки обслуживаются бригадой изn наладчиков, то СМО становится многоканальной.

Другим примером может быть система с центральным процессором и удаленными терминалами. Пользователь, отправивший запрос с терминала не может выдать новый запрос, пока не получит сообщения от процессора

об окончании обработки предыдущего.

 

 

 

Характерным

для

замкнутой

системы

массового

обслуживан

является наличие ограниченного числа источников заявок.

 

 

В сущности, любая СМО имеет дело только с ограниченным числом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на поток . заявок Например, поток вызовов на АТС крупного города исходит, в сущности, от ограниченного числа абонентов, но это число так велико, что практически можно считать интенсивность потока заявок независимой от состояний самой АТС (сколько каналов занято в данный момент). В замкнутой же системе массового обслуживания источники заявок, наряду с каналами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.

Построим аналитическую модель такой системы.

Сначала рассмотрим случай с одним обслуживающим прибором и количеством источников равнымm. Состояния будем кодировать числом выданных заявок. Диаграмма интенсивностей переходов для данной

56

системы изображена на рис.2.17.

ml

(m-1)l (m-2)l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

m

 

 

m

Рис. 2.17. ДИП для одноканальной замкнутой СМО Определим вероятности состояний.

P ml = P m;

P =

ml

P = mw p;

 

 

 

 

 

0

1

1

m

0

 

 

 

P (m -1)l = P m; P =

 

(m -1)l

P = m(m -1)w 2 p;

 

 

1

 

2

2

 

 

m

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = m( m -1)...( m - i +1)wm p;

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

= m( m -1)...×1×wm p;

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходя из уравнения нормировки, получаем

p =

 

 

 

 

 

 

 

1

.

1 + mw + m(m -1)w 2 + m(m -1)(m - 2)w3 + ... + m(m -1)...1w m

Найдем характеристики эффективности замкнутой СМО.

Абсолютная пропускная способность – это среднее количество заявок, обслуживаемых каналом в единицу времени. Вычислим эту характеристику. Канал занят обслуживанием заявок с вероятностью

Рзан = 1-Р0 =1-р .

Если он занят, то обслуживает в среднемμ заявок в единицу времени. Таким образом, абсолютная пропускная способность системы

А = (1-р) μ.

Так как каждая заявка, в конце концов, будет обслужена, то относительная пропускная способность q = 1.

Вычислим среднее число заявок, ожидающих обслуживания, иначе — среднее число источников, выдавших заявку и ожидающих ответа. По сути, это количество заявок, находящихся в данный момент в системеLc. Вообще говоря, эту величину можно вычислить непосредственно, по формуле

Lc = 1 ×Р1 + 2 × Р2 +…+ m× Рm,

но проще будет найти ее через абсолютную пропускную способность А. Каждый источник, еще не выдавший заявку, порождает поток заявок с

интенсивностью l. Таких источников m - Lc, а поток, порождаемый ими имеет интенсивность (m - Lc)l. Все эти заявки будут обслужены каналом,

57

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

(m - Lc)l = (1-р) μ,

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

1 - p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lc

= m -

(1 - p) = m -

.

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

Определим теперь среднее число источников, выдавших заявки,

обслуживание которых еще не началось. Фактически, это количество заявок в

очереди Lоч.

 

 

 

 

 

 

 

 

системеLc складывается из числа заявок в

Среднее

число заявок

 

в

очереди Lоч

и среднего

числа

заявок, находящихся под обслуживанием в

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

канале k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lc = Lоч + k

заявок с вероятностьюр

или 1 с

В канале может находиться0

вероятностью 1- р, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 × p +1× (1 - p) =1 - p.

 

 

 

 

k

 

Отсюда

 

 

 

1 - p

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Lоч = m -

- (1 - p) = m - (1 - p)(1 +

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

Теперь

перейдем

к

случаю

с несколькими каналами

обслуживания.

Будем кодировать состояния общим числом выданных источниками и еще не обслуженных заявок. Так как источник не может выдать новую заявку до окончания обслуживания предыдущей, то интенсивность общего потока

заявок зависит

от

того, сколько заявок связано с процессом обслуживания

(непосредственно

обслуживается

или

стоит

в

)очереди. Кол чество

источников –

m,

число каналов –

n (n<m).

Диаграмма

интенсивностей

переходов для данной системы изображена на рис. 2.18.

 

ml

(m-1)l (m-2)l (m-n+1)l (m-n)l (m-n-1)l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

2m

 

3m

 

 

nm

 

nm

 

nm

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.18. ДИП для многоканальной замкнутой СМО

 

 

 

 

 

 

 

 

Требуется

 

 

найти

 

 

вероятности

состояний

данной

системы

и

характеристики.

 

 

 

 

 

 

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P ml = P m;

 

 

P

=

P

= mw p;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58

P ( m -1)l = P 2m; P =

 

( m -1)l

P =

m( m -1)

w 2 p;

 

 

 

1

2

2

 

2m

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (m - 2)l = P 3m;

P =

 

(m - 2)l

P

=

m(m -1)(m - 2)

w3 p;

 

 

 

2

3

3

 

3m

2

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi =

Pn. =

При

ожидают

m(m -1)(m - 2)...(m - i +1) wi p , i=1, 2,…,n. i!

m(m -1)(m - 2)...(m - n +1) wn p . n!

i>n возникает ситуация, когда n заявок обслуживаются, а i-n обслуживания.

P

(m - n)l = P

nm; P

 

=

(m - n)l

P =

(m - n)

w P ;

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n +1

 

 

 

n +1

 

 

 

nm

1

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(m - n)(m - n -1)

 

P

+1

(m - n -1)l = P

nm;

 

P

+2

=

(m - n -1)l

P

=

w 2 P ;

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n +2

 

 

n

 

 

nm

 

n +1

 

n2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

=

(m - n)(m - n -1)...(m - n - i + 1)

wi P ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

=

 

(m - n)(m - n -1)...2 ×1

w m -n P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

nm -n

 

 

 

 

n

 

 

 

Подставляя в выражения дляPn+i и Pm полученное выше значение Pn,

получаем

 

 

m(m -1)...(m - n - i +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

=

w n +i p;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +i

 

 

 

 

 

 

n!ni

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

=

 

m!

wm p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

n!nm-n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходя из уравнения нормировки, определим значение p:

p = [1 + m w + m(m -1) w 2 + ... + m(m -1)(m - 2)...(m - n + 1) w n +

1!

2!

 

n!

+

m(m -1)...(m - n)

w n +1 + ... +

m!

w m ]-1.

n!n

n!nm -n

 

 

 

Через вычисленные вероятности может быть определено среднее число занятых каналов:

59

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]