Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
123.PDF
Скачиваний:
46
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.24 Mб
Скачать

3.5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения.

Для формирования чисел с заданным законом распределения исходным

материалом

служат

случайные

величины, имеющие

равномерное

распределение. Другими словами, возможные значения yi случайной величины

 

η, имеющей

равномерное

распределение

в

интервале(0, 1),

могут

быть

 

преобразованы в возможные значенияxi

случайной

величиныξ,

закон

 

распределения которой задан.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Существуют два основных пути такого преобразования случайных чисел.

Первый из них состоит в реализации некоторой операции

над

числом

над

числом yi, формирующей

число xi,

имеющее

(точно

или

приближенно)

 

заданный закон распределения. Второй

основывается

на

моделировании

условий

соответствующей

предельной

теории

вероятостей. Рассмотрим

 

некоторые из существующих методов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5.1. Метод обратной функции.

 

 

 

 

 

Идея этого метода базируется на следующем утверждении.

 

 

 

 

Если случайная величинаξ имеет функцию распределенияFξ(x), то

 

распределение случайной величины η=Fξ(ξ) равномерно в интервале от0 до 1

 

(рис. 3.6.а).

 

 

 

 

 

 

реализация{хi} случайной

 

Иными словами, если бы у нас

имелась

 

величины

ξ,

то, преобразовав ее

с

помощью

функцииFξ(x),

мы

получим

 

реализацию {yi} случайной

величины η,

равномерно

распределенной

в

интервале от 0 до 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi= Fξ(xi).

 

 

 

 

(3.1)

 

 

 

 

Но наша задача заключается в том, что бы, имея выборку {yi} случайной

 

величины η, равномерно распределенной в интервале от0 до 1, получить числа

 

{хi} с функцией распределения Fξ(x). Отсюда вытекает идея метода − разрешить

 

относительно

хi уравнение (3.1), то

есть получить

выражение

для

обратной

относительно Fξ(x) функции (рис. 3.6.б): xi= Fx-1 ( yi).

Докажем, что случайная величина, значения которой получены в соответствии с (3.1), будет иметь равномерное распределение.

Пусть η – равномерно распределена от 0 до 1. Рассмотрим случайное число x = j(h) , где функция φ – монотонна и непрерывна.

91

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F -1

( y)

 

 

 

Fξ(x)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.6. Метод обратной функции

Тогда h = j -1(x) .

Найдем функцию распределения для величины ξ :

Fx (x) = P(x < x) = P(j(h) < x) .

 

 

Ввиду монотонности функции φ справедливо

 

 

 

-1(x)) = F (j

j -1(x)

 

 

-1(x))dx = j -1(x) .

 

 

p(h < j

-1(x)) =

ò f

h

(j

 

 

 

h

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь

 

 

 

 

1

 

 

 

для получения конечного выражения учтено, что функкция

f

h

(j -1(x))

представляет

собой

функцию

плотности для равномерного в

 

 

 

 

 

 

 

 

интервале (0, 1) распределения и равна 1 в этом интервале и 0 вне его. Окончательно получим:

Fx (x) = j -1(x) .

Отсюда:

j(h) = F -1(h) = x . x

Таким образом, функция φ, связывающая равномерно распределённую величину η с величиной ξ, имеющую функцию распределения Fξ есть функция

F -1, т.е. обратная по отношению к Fξ. x

Рассмотрим пример использования метода обратной функции.

Надо получить число с показательным законам распределения. Для него функция плотности имеет вид:

f x (x) = le-lx .

Получим функцию распределения для показательного закона:

92

x

x

Fx (x) = ò f (x)dx = òle-l x dx =1 - e-l x .

0

0

В соответствии с тем, что было рассмотрено выше, если в это выражение подставить величину xi, имеющую показательное распределение, то в результате получится число yi, равномерно распределенное от 0 до 1:

 

yi =1 - e-l xi ,

или

1 - yi = e-l xi .

 

Прологарифмируем обе части уравнения:

 

ln(1 - yi ) = -l xi .

 

Отсюда

 

хi = -

1

ln(1 - yi ) .

 

 

 

 

l

Если величина yi равномерно распределена от0 до 1, то и 1- yi будет обладать этим же свойством, поэтому окончательно:

1

хi = - l ln( yi ) .

Итак, если в нашем распоряжении имеются числа{yi}, равномерно распределенные от 0 до 1, то, воспользовавшись полученным выражением, можно вычислить последовательность чисел{хi}, имеющих показательное законам распределение.

3.5.2. Универсальный метод

Для использования метода обратной функции необходимо иметь в явном виде аналитическое выражение для функции распределения вероятностейFξ(x). Как правило, законы распределения задаются функцией плотностиfξ(x) а функцию распределения получают интегрируя fξ(x):

x

Fx (x) = ò fx (x)dx .

Для многих распределений использование метода обратной функции в аналитическом виде оказывается затруднительным или невозможным по ряду причин:

а) интеграл от fξ(x) не берётся, либо после интегрирования получается выражение, требующее больших затрат машинного времени;

б) описание вида распределения получено экспериментально в виде гистограммы.

В этих случаях используют универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности.

93

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел{хi} с функцией плотности распределения fξ(x).

Если область определения случайной величиныξ не ограничена, перейдём к усеченному распределению на интервале (c,d). Разобъём интервал (c,d) на n подинтервалов (рис. 3.7)

(a0, a1), (a1, a2), ... , (an-1, an), a0=c, an=d.

Границы интервалов выбираются так, чтобы вероятность попадания в любой из подинтервалов(ak, ak+1) была постоянной, то есть не зависела отk. Для вычисления границы ak воспользуемся следующим соотношением:

ak

1

 

Pk = ò f (x)dx =

.

 

ak -1

n

 

 

fξ(x)

a0 a1 a2

an-1 an

 

 

Рис. 3.7. Кусочная аппроксимация функции плотности

В простейшем случае будем представлять fξ(x) в виде кусочно-постоянной функции, то есть считаем значение fξ(x) на xкаждом подинтервале постоянной. Тогда значение случайной величины , ξпопадающей в подинтервал(ak, ak+1) можно представить как

xk = ak + ηk*,

где:

ак

– левая граница подинтервала;

 

 

ηk* – РРСЧ, значение которого распределены от 0 до

(ak+1- ak).

 

Таким образом, вероятность всех чисел из любого подинтервала (ak, ak+1)

одинакова.

 

 

 

 

Машинный алгоритм этого способа:

 

 

1)

Генерируется

РРСЧ η1 из диапазона (0, 1) и

выбирается

номерk

подинтервала из условия:

 

 

 

 

k ≤ n·η1< k+1,

k=0, …, n-1;

 

 

2)

Генерируется

РРСЧ η2

(от 0 до 1) и формируется случайная

величина

выходной последовательности

xk = ak + (ak+1- ak) η2.

94

Универсальный метод при кусочно-постоянной

аппроксимацииfξ(x)

 

весьма прост в реализации и требует малого количества операций ЭВМ. Когда

 

требуется обеспечить

особо высокую

точность

преобразования случайных

чисел могут оказаться полезными и другие виды аппроксимации, например,

 

линейно-кусочная. Правда, выражение для получения xk

при этом существенно

 

усложняется.

 

 

 

 

 

 

 

В случае, когда описание вида распределения задано в виде гистограммы,

 

применяют модификацию универсального метода.

 

 

 

 

Пусть требуется произвести формирование случайной последовательности

 

{хi}, причем

закон

распределения

для

нее

представлен

в

равноинтервальной

гистограммы (рис. 3.8), содержащей

n

интервалов

с

границами a0, a1, a2, ... , an-1, an.

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0 a1 a2

 

 

 

 

an x

Рис. 3.8. Задание закона распределения гистограммой

Построим вспомогательную шкалу: 0, с1, с2, с3,…, сn, 1,

 

n -1

 

 

 

 

 

 

 

 

где

ci = åPi ; Рi

относительная

частота

попадания

i-вй

интервал

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

гистограммы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Машинный алгоритм реализации способа:

 

 

 

 

1)

Генерируется

РРСЧ η1 из диапазона (0,

1) и

выбирается

номерk

интервала вспомогательной шкалы из условия:

 

 

 

 

 

ck ≤·η1<ck+1,

k=0, …, n-1;

 

 

 

 

 

2) Генерируется

РРСЧ η2

(от 0 до 1) и формируется

случайная

величина

выходной последовательности

 

 

 

 

 

 

 

xk = ak + (ak+1- ak) η2.

 

 

 

 

 

 

Этот метод

можно

применить

и в

том ,

случаеесли

задана f(x) в

аналитическом виде. Для этого предварительно рассчитывают значения Рi как

ai

Pi = ò f (x)dx

ai-1

95

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]