2.7.8. Немарковские СМО

До сих пор мы занимались только простейшими СМО, для которых все потоки событий, переводящие их из состояния в состояние, были простейшими. Если это условие не выполняется, то система становится немарковской.

Следует отметить, что для немарковских СМО существуют только

69

Деля Lоч и Lсист на λ, получим, согласно формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания в системе:

Заметим, что в частном случае, когда время обслуживания — показательное, υμ = 1, то формулы Полячека — Хинчина превращаются в уже знакомые нам формулы для простейшей одноканальной СМО. Возьмем другой частный случай

— когда время обслуживания вообще не случайно(поток обслуживаний регулярный) и υμ = 0. Тогда среднее число заявок в очереди уменьшается вдвое по сравнению с простейшим случаем. Это и естественно: если обслуживание заявки протекает более организованно, «регулярно», то СМО работает лучше, чем при плохо организованном, беспорядочном обслуживании.

Пример. Одноканальная СМО— ЭВМ, на которую поступают заявки (требования на расчеты). Поток заявок — простейший со средним интервалом

70

между заявками t = 10 мин. Время обслуживания Тобсл распределено по закону Эрланга 3-го порядка с математическим ожиданиемt обсл = 8 мин. Определить среднее число Lc заявок в СМО и среднее числоLоч заявок в очереди, а также средние времена пребывания заявки в системе Wc и в очереди Wоч.

Решение. Характеристики СМО могут быть найдены по формуле Полячека— Хинчина.

Имеем: λ = 0,1 заявки/мин; μ= 0,125 заявки/мин; ω = λ/μ= 0,8. Коэффициент вариации времени обслуживания для закона Эрланга3-го

0,82 (1 + 1 )

коэффициентом вариации υμ , тоже заключенным между нулем и единицей. Для этого случая точных аналитических формул получить не удается; можно только приближенно оценить среднюю длину очереди, ограничить ее сверху и снизу.

Если входящий поток — простейший, то обе оценки — верхняя и нижняя совпадают, и получается формула Полячека— Хинчина. Для грубо приближенной оценки средней длины очереди используют формулу:

Lоч = w2(ul2 +um2 ) .

2(1 -w )

Среднее число заявок в системе получается изLоч простым прибавлением ω

— среднего числа обслуживаемых заявок:

Lсист = Lоч + ω .

Что касается средних времен пребывания заявки в очереди и в системе, то они вычисляются через Lоч и Lсист по формуле Литтла делением на λ .

71

Таким образом, характеристики одноканальных СМО с неограниченной очередью могут быть(если не точно, то приближенно) найдены и в случаях,

произвольным распределением времени обслуживания(G/G/n/∞). Точных аналитических методов для таких систем не существует. Единственное, что мы

ошибкам. К счастью, входной поток заявок во многих задачах практики близок к простейшему.

Хуже обстоит дело, когда входной поток заведомо не простейший. В этом случае используют следующий прием. Подбирают две одноканальные СМО, из которых одна по своей эффективности заведомо«лучше» данной многоканальной, а другая — заведомо «хуже» (очередь больше, время ожидания больше). А для одноканальной СМО найти характеристики можно в любом случае.

Как же подобрать такие одноканальные СМО— «лучшую» и «худшую»? Это можно сделать по-разному. Оказывается, заведомо худший вариант можно получить, если расчленить даннуюn-канальную СМО наn одноканальных, а

общий поступающий на них простейший поток распределять между этими одноканальными СМО в порядке очереди: первую заявку — в первую СМО, вторую — во вторую и .т д. Мы знаем, что при этом на каждую СМО будет поступать поток Эрлангаn-го порядка, с коэффициентом вариации, равным

1/ n . Что касается коэффициента вариации времени обслуживания, то он остается прежним. Для такой одноканальной СМО мы уже умеем вычислять время пребывания заявки в системе Wсист , оно будет заведомо больше, чем для исходной n-канальной СМО. Зная это время, можно дать «пессимистическую» оценку и для среднего числа заявок в очереди, пользуясь формулой Литтла и умножая среднее время на интенсивностьλ общего потока заявок. «Оптимистическую» оценку можно получить, заменяя n-канальную СМО одной одноканальной, но с интенсивностью потока обслуживании в n раз большей, чем

у данной, равной nμ. Естественно, при этом параметр ω тоже должен быть изменен, уменьшен в n раз. Для такой СМО время пребывания заявки в системе Wсист уменьшается за счет того, что обслуживание продолжается в n раз меньше

приближенно вычислить среднее число заявок в системеLсист. Вычитая из него

72