ПМК
Синхронизация
РП
АЛУ
Рис. 2.4. Система АЛУ – память
При построении и исследовании модели будем пользоваться
представлением |
|
данного |
устройства |
как |
системы |
массового |
||||||||||
обслуживания (СМО). Структура этой СМО изображена на рисунке 2.5. |
|
|||||||||||||||
Построим математическую |
модель и |
исследуем. Т.еек. поток |
|
|||||||||||||
обслуживаний представляет собой просеянный регулярный поток, |
|
|||||||||||||||
процесс |
будет |
марковским, и |
мы |
можем |
определить |
финальные |
||||||||||
вероятности состояний этой системы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Источник |
|
|
Очередь |
Канал обслуживания |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Блокировка
Рис. 2.5. Представление системы “АЛУ – память” как СМО
Будем определять состояние системы трехкомпонентным вектором,:
jt1t2.
Комбинаторная составляющая этого вектораj - количество заявок ,
находящихся в накопителе (длина очереди), j = 0,1,2,...n. |
|
Временная составляющая t1 – число тактов, |
оставшихся до |
появления заявки на выходе источника(t1=0, 1, 2). Значение 0 означает, что источник заблокирован.
Составляющая t2 определяет состояние канала обслуживания(АЛУ) и может принимать два значения:
t2 = 0 - канал свободен;
t2 =1 - канал занят обслуживанием заявки.
Построим граф (рис. 2.6) и систему уравнений для стационарных (финальных) вероятностей состояний Pjt1t2.
В состояние P020 система больше не вернется, поэтому P020 = 0.
1.P010 = (1 - p )P021 + P020
2.P021 = (1 - p )P011 + P010
3.Pi 21 = pPi-111 + (1 - p )Pi11 (i = 1, n -1) 4.Pi11 = (1 - p )Pi+121 + pPi 21 (i = 0, n -1)
5.Pn 21 = pPn-111 + (1 - p )Pn11 + (1 - p )Pn 01 6.Pn11 = pPn 21
7.Pn01 = pPn11 + pPn 01
Обозначим:
p = P010 ,
w = |
|
p |
. |
|
|
||
1 |
- p |
||
|
|
. . . . |
|
|
|
0 2 0 |
π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 1 0 |
|
|
1-π |
π |
|
|
|
||
π |
|
0 2 1 |
|
|
1-π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
0 1 1 |
|
π |
|
1-π |
|
|
|
|
|
π |
|
1 2 1 |
|
|
1-π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
1 1 1 |
|
|
1-π |
|
n-1 1 |
|
|
1-π |
n 2 1 |
|
|
1-π |
n 1 1 |
1-π |
|
|
n 0 1 |
|
2 2 1
Рис. 2.6. Граф переходов для системы “АЛУ – память”
. . . .
В состояние P020 система больше не вернется, поэтому P020 = 0.
1.P010 = (1 - p )P021 + P020
2.P021 = (1 - p )P011 + P010
3.Pi 21 = pPi-111 + (1 - p )Pi11 (i = 1, n -1) 4.Pi11 = (1 - p )Pi+121 + pPi 21 (i = 0, n -1)
5.Pn 21 = pPn-111 + (1 - p )Pn11 + (1 - p )Pn 01
6.Pn11 = pPn 21
7.Pn01 = pPn11 + pPn 01
Обозначим:
p = P010 , |
|||
w = |
|
p |
. |
|
|
||
1 |
- p |
||
Тогда из уравнений1 и 2 получим:
P = |
|
|
1 |
p , P = |
|
|
w |
p . |
|
|
|
|
|
|
|||
021 |
1 |
- p |
011 |
1 |
- p |
|||
|
|
|||||||
Далее, проведя индукцию по i, будем иметь:
|
|
|
w 2i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
= |
|
|
|
|
p |
(i = 0, n) |
||||
|
|
|
|||||||||
i 21 |
|
1 |
- p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
w2i +1 |
|
|
|
|
|
||||
P |
= |
|
|
|
|
p |
(i = 0, n -1) |
||||
|
|
|
|
||||||||
i11 |
|
1 |
- p |
|
|
|
|
|
|||
Из уравнений 6 и 7 системы определяем вероятности: |
|||||||||||
P |
= w2n+1 p ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
= w2n+2 p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n01 |
Уравнение 5 превращается в тождество. Используя уравнение |
||||||||||||
|
|||||||||||||
нормировки: |
|
|
|
å Pjt1 t2 |
= 1 |
|
, |
|
|
||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
||
|
é |
1 |
2 w |
i |
|
|
2 n + 1 |
|
|
2 n + 2 ù |
|
||
p = |
ê1 + |
|
å w |
|
|
+ w |
|
|
+ w |
ú . |
|
||
1 - p |
|
|
|
|
|||||||||
|
ë |
i = 0 |
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
||
Отсюда, |
учитывая, |
что |
|
сумма - |
|
это |
сумма |
геометрической |
|||||
прогрессии, получим |
|
|
|
2(1 - p ) -1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p = |
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
2(1 - p ) - w 2n+2 |
|
|
|||||||
Используя полученное значениеp (фактически, это вероятность простоя АЛУ) и рассчитав вероятности всех остальных состояний, можно найти другие интересующие нас характеристики системы.
а) Cреднее время обслуживания заявки системой в целом(время пребывания заявки в системе) S.