Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
123.PDF
Скачиваний:
59
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.24 Mб
Скачать

Одним из свойств этой функции является то, что

Ф*(-x) =1 -Ф*(x) .

Теперь определим вероятность попадания случайной величиныm~ в доверительный интервал, то есть решим вопрос о том, с какой вероятностью полученная оценка m~ отличается от действительного значенияm н более, чем на ε (рис. ).

m-ε

~

m

m+ε

m

°

°

°

°

 

ε

 

ε

Рис. Попадание оценки в доверительный интервал.

Так как оценка m~ имеет нормальное распределение, то

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

e

*

 

 

e

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(

 

m - m

< e ) = F (m + e )

- F (m - e ) = Ф

 

(

 

 

 

) - Ф

 

(

-

 

) = 2Ф * (

 

) - 1 .

 

 

 

s

 

s

s

 

 

 

Но это доверительная вероятность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = 2Ф * (

) - 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* 1 + b

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e = s argФ

) = s tb ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* 1 + b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

tb = argФ

 

 

argФ

*

(x) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф

(x) , т.е. такое

 

 

где

(

 

 

) ,

 

 

функция,

обратная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функцияФ*(x) равна x.

 

значение

аргумента, при

котором нормальная

 

Для

нормального

закона

 

 

 

распределения

 

 

 

 

разработаны

специальные

,таблицы

используя которые, можно для каждого β выбрать значение tβ.

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e= tbs = tb D .

3.11.3.Точность. Определение числа реализаций

Выбор

количества

реализаций

является

задачей

тактиче

планирования эксперимента и зависит от того, какие требования по точности

предъявляются к результатам моделирования.

 

 

 

 

Пусть целью моделирования будет вычисление вероятности появления

события А.

В каждой изN реализаций

событие А

может

наступить

или не

наступить.

Иначе

говоря, количество

ξ наступления

событий

в

данной

142

реализации является случайной величиной, принимающей значения x1 =1 c вероятностью р и значение x2 =0 с вероятностью 1.

Математическое ожиданиеξ:

M [ x ] = x 1 p + x 2 ( 1 - p ) = p ,

дисперсия дляξ:

 

D [ x ] = ( x - M [ x ])2 p + ( x

2

- M [ x ]) 2 ( 1 - p ) = p( 1 - p ) .

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

В качестве оценки для вероятностипринимается частотаm/N

наступления события А в N реализациях.

 

Частоту можно представить в виде:

 

 

 

 

m

 

1 N

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

åxi ,

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

N i=1

 

 

 

где xi - количество наступления события А в i-й реализации.

В

силу

центральной

предельной теоремы(так как m/N представляет

собой

сумму

случайных

 

величин) частота m/N

при достаточно больших

значениях N будет иметь распределение близкое к нормальному. Найдем характеристики для частоты.

Можно представить частоту в следующем виде:

m= N xi

å.

N i =1 N

Обозначим:

 

xi

 

= a . Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

M [a ] =

1

 

p +

0

 

(1 - p) =

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M [

] = M [ai ] × N = p;

 

 

N

p(1 - p)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

D[a ] =

(1 - p)2 p +

 

(0 - p)2 (1 - p) =

;

 

 

 

 

 

 

i

 

N 2

 

 

 

 

 

N 2

N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D[

m

] = ND[a ] =

p(1 - p)

.

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

i

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для каждого значения достоверностиβ из таблиц нормального распределения можно выбрать такую величину tβ, что точность ε будет равна:

e = t b

D[

m

] .

 

 

 

N

Подставляя значение дисперсии, получим:

e = tb

p(1 - p)

N

 

143

Отсюда можно получить количество реализацийN, необходимое для

получения оценки m/N с точностью ε и достоверностью β:

 

 

 

2

p(1 - p)

 

 

 

 

N = tb

 

.

 

 

 

e 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Но р заранее не известно. Поэтому поступают так. Берут N0

= 50 – 100,

определяют по результатам N0 реализаций m/N0 , а затем, принимая

p »

m

, и

 

 

 

 

 

N0

окончательно назначают

значение N и проводят остальные N-N0 испытаний.

Для случая, когда надо получить оценку математического ожидания:

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

 

= s ~t

 

= t

 

D

 

 

 

tb ×s

e

b

b

b

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

N

 

 

 

 

 

N

Отсюда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N ³ tb

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

eb2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для оценки дисперсии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eb = tb ×s D = tb

 

2 ~

 

 

 

D

~

 

 

 

N -1

Отсюда:

 

 

 

~

2

 

 

 

2

 

 

 

D

 

 

 

 

N ³ 2tb

 

 

 

.

 

e 2

 

 

 

 

 

 

144

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]