Это сумма геометрической прогрессии. Напомним, что сумма k элементов конечной геометрической прогрессии равна

Sk = b1 (q k -1) , где b1 – первый член прогрессии, а q – ее множитель. q -1

Отсюда:

w - 1

p = P0 = (w n + 3 - 1).

Зная Р0, можно рассчитать значения вероятности всех остальных состояний.

Определим некоторые показатели эффективности работы системы так, как это было сделано для дискретно-стохастической модели.

Cреднее время пребывания заявки в системе

S = = ( )= . m(1 - р) mw 1 - w n +2 l(1 - w n +2 )

Средняя длина очереди

n +1

Loч = å(i -1)Pi + nPn +2 .

i=1

2.7.4.Диаграмма интенсивностей переходов

Исследуя в предыдущем разделе систему М/M/1/n с блокировкой, мы получили искомые результаты, используя следующую последовательность действий:

-построение графа Марковской цепи;

-определение вероятностей переходов;

-построение системы дифференциальных уравнений;

-переход к системе алгебраических уравнений;

-решение системы и получение вероятностей состояний.

Рассмотрим теперь более простой способ непосредственного выписывания алгебраических уравнений.

Построим вместо графа марковского процесса(рис. 2.9) диаграмму интенсивностей переходов (ДИП), в которой овалами обозначим состояния, а дугами переходы между ними. Как и прежде, будем кодировать состояния числом заявок, находящихся в данный момент в системе. Дугам приписываются числа, соответствующие интенсивностям

переходов (а не вероятностям, как это было ранее). В такой диаграмме нет петель, т.е. дуг из состояния Sк в это же состояние (рис. 2.10).

Эта диаграмма содержит, по сути, ту же информацию, что и граф сети Маркова. Построим для этой диаграммы алгебраические уравнение для вероятностей состояний, исходя из закона сохранения потоков

–от состояния i-1, равный lP - ;

i1

–от состояния i+1, равный mPi+1.

Выходные потоки для этого состояния:

–к состоянию i-1, равный mPi ;

–к состоянию i+1, равный lPi ;

Так как сумма входящих потоков вероятностей для состояния равна сумме исходящих из него потоков, получаем

(l + m)Pi = lPi-1 + mPi+1 .

собой. Например, для сечения между состояниями i и i+1 это выражается равенством

lPi = mPi+1 .

Этот результат мы уже получили ранее в разделе2.7.3, преобразовав исходную систему алгебраических уравнений.

2.7.5 Формула Литтла

Прежде чем перейти к анализу СМО различной конфигурации, выведем для системы с неограниченной очередью важное соотношение

работы) среднее число заявок, находящихся в СМОLc и среднее время пребывания заявки в системе Wc.

Рассмотрим произвольную СМО(одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую и т..)д. Если интенсивность поступления заявок, поступающих в систему будет меньше, чем интенсивность обработки этих заявок каналом, то установится стационарный (предельный) режим работы системы, когда среднее число прибывающих за единицу времени заявок равно среднему числу заявок, покидающих СМО (т.е. оба потока – входной и выходной будут иметь одну и ту же интенсивность l).

Введем в рассмотрение две функции: X(t) и Y(t), значениями которых будут являться соответственно число заявок, поступивших к моменту t в систему и число заявок, покинувших систему к этому моменту (рис.2.11).

Рис. 2.11. К выводу формулы Литтла.

Обе функции случайны, меняются скачком на1 при приходе или окончании обслуживания очередной заявки соответственно.. Число заявок, находящихся в СМО в момент t равно:

Z(t) = X(t) – Y(t).

Рассмотрим очень большой промежуток времениТ и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Это среднее значение функции Z(t) интервале T:

Следовательно, мы можем заменить этот интеграл суммой площадей и записать:

Умножим и разделим это выражение на l:

Lc = Tll åi ti

Но Tl - это количество заявок, поступивших в систему за времяТ, а åti представляет собой суммарное время пребывания всех этих заявок в

i

системе. Следовательно, отношение åti к Tl является средним временем

i

пребывания заявки в СМО, т.е. Wc. Окончательно:

Lc = lWс

Аналогично выводится соотношение

Lоч = lWоч ,

где Lоч – средняя длина очереди,

Wоч - среднее время пребывания заявки в очереди.

Эти формулы носят название формул Литтла и позволяют при анализе систем по значению L находить W и наоборот.

Рис. 2.12. ДИП для системы M/M/1/m

Воспользовавшись правилом равенства встречных потоков вероятностей через сечение диаграммы и, введя обозначения P0 = p и λ/μ

=ω, получим:

λP0= μ P1, P1 = (λ/μ)P0 = ω p;

λP1= μ P2, P2 = (λ/μ)P1 = ω2 p;

λP2= μ P3, P3 = (λ/μ)P2 = ω3 p;

Учитывая, что полученная сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии, в которой n+2 слагаемых, получим:

Характеристики эффективности:

— относительная пропускная способность

Q=1 - Pm +1;

—абсолютная пропускная способность

A= l(1 - Pm +1 );

—вероятность отказа

Сумма в этом выражении представляет собой суммуm элементов

геометрической прогрессии и равна w(1 - w m ) . 1 - w

Производная от этого выражения 1 - w n (m +1 - mw) . (1 - w)2

Учитывая выражение для p, окончательно имеем:

Lоч = w 2 [1 -w m (m +1 - mw)] . (1 -w)(1 -w

— среднее число заявок в СМО

Lc = Lоч + k .

По формуле Литтла можно получить значение среднего времени пребывания заявки в очереди:

Wоч = Lоч / l .

Для определения среднего времени пребывания заявки системев

будем исходить из того, что

Wсис = Wоч + tобсл ,

где tобсл – среднее время обслуживания заявки каналом, которое может

принимать значение 1 , если заявка попала в систему(вероятность этого m

Окончательно:

Q

Wсис =Wоч + m .

Обратим внимание на то, что формула (2.7.1) справедлива только при ω≠0 (при ω=0 она превращается в неопределенность вида0/0). Но,

Пример. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания(одной колонкой). Площадка при

станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех

машин одновременно (m=3). Если в очереди уже находится три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность λ = 1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Определить:

—вероятность отказа;

—относительную и абсолютную пропускную способности СМО;

—среднее число машин, ожидающих заправки;

—среднее число машин, находящихся на АЗС(включая и обслуживаемую);

—среднее время ожидания машины в очереди;

p= 1-1,25 = 0,122 .

1-1,125

Вероятность отказа

Относительная пропускная способность СМО

Q = 1 - Pотк = 0,703 = 0,703.

Абсолютная пропускная способность СМО A = lQ = 0,703 (машины в мин.)

Среднее число машин в очереди

1,252 [1 -1,253( 3 +1 - 3×1,25 )]

Lоч = (1 -1,25 )(1 -1,255 ) »1,56.

Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием

k = 1 - 1 -1,25 » 0,88 , 1 -1,255

получаем среднее число машин, связанных с АЗС:

Lc = Lоч + k = 2,44.

Среднее время ожидания машины в очереди, по формуле Литтла равно

Wоч = Lоч / l =1,56 (мин).

Среднее время пребывания машины на АЗС

2) Многоканальная СМО с отказамиM/M/n (задача Эрланга).

На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью l , время обслуживания - показательное с параметром

m = 1 / tобсл . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся

в СМО (в силу отсутствия очереди, оно совпадает с числом занятых каналов, см. ДИП на рис. 2.13):

Рис. 2.13. ДИП для системы M/M/n

Воспользуемся правилом равенства встречных потоков через сечения диаграммы:

…

По индукции получаем Pi = wi p . i!

Характеристики эффективности:

— вероятность отказа (вероятность занятости всех каналов)

Pотк = Pn = wn p; n!

— относительная пропускная способность

Q = 1 - Pn = 1 - w n p; n!

— абсолютная пропускная способность

A = lQ = l(1 - w n p); n!

k= A = w(1 - w n p) . m n!

Пример. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью =λ 4 заявки/ч. Среднее время обслуживания одной заявки tоб = 0,8 ч. Каждая обслуженная заявка приносит доход с = 4 руб. Содержание каждого канала обходится 2 руб./ч.

Решить: выгодно или невыгодно в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех?

Решение. ω=λ/μ=3,2.

По формулам Эрланга получаем:

Относительная пропускная способность Q=1-P2=0,450, абсолютная пропускная способность А = λQ = 1,8 заявки/ч.

3) Многоканальная СМО с фиксированным числом мест ожидания(с

ограниченной очередью) – M/M/n/m. На n-канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностьюl , время обслуживания каждого канала показательное с параметром m = 1 / tобсл .

Рис. 2.14. ДИП для системы M/M/n/m

Диаграмма на рис. 2.14 для состояний 0 – n полностью совпадает с диаграммой для системыM/M/n с отказами (см. рис. 3.10). Значит, и вероятности для этих состояний тоже совпадут:

Получим вероятности для состояний с номерами больше n.