G – распределение общего вида.

При этом подразумевается, что потоки являются рекуррентными,

т.е.

интервалы

между

событиями

независимы

и

имеют

одинаковое

Среди всех возможных потоков при исследовании СМО особую роль

играет поток,

который

называется простейшим.

Такое

название

потока

связано с тем, что математическое описание событий, связанных с

простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Даже самый

простой, на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными

интервалами

между

событиями

доставляет

больше

трудностей при

создании

аналитической

модели: он

обладает

ярко

выраженным

последействием, так как моменты появления

событий

в

нем

связаны

между собой жесткой функциональной зависимостью.

Простейшим называется поток, обладающий следующими тремя

свойствами: стационарность, ординарность и отсутствие последействия.

Расшифруем эти понятия.

Поток

является стационарным,

если вероятность

наступления

заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной

длины зависит только от продолжительности интервала и не зависит от

его расположения

на временной

. осиИначе

говоря, вероятностные

характеристики

и

интенсивность

такого

потока

со

временем

не

изменяются.

Поток

является ординарным, если

вероятность

появления

двух

или

более событий в течение элементарного интервала времениt→0 есть

величина бесконечно малая по сравнению

с

вероятностью

появления

одного события на этом интервале. Другими

словами, два

и

более

событий в таком потоке произойти одновременно не могут.

Поток

называется

потокомбез

последействия, если

для

любых

неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на

один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Иногда

это свойство формулируют следующим образом: распределение времени

до ближайшего события не зависит от времени наблюдения, т.е. от того,

сколько

времени

прошло

после

последнего .событияОтсутствие

последействия в потоке означает, что события,

образующие

поток

появляются в последовательные моменты времени независимо друг от

друга.

Для простейшего потокачисло событий, попадающих на любой

фиксированный интервал времени подчиняется закону Пуассона, поэтому

его иначе называют стационарным пуассоновским.

P (t ) =

( lt ) m

e

- lt

m

m!

Здесь λ – интенсивность, т.е.

среднее число событий в единицу

элементарного

интервала времени t→0. Произведя замену τ на t, и,

разлагая e-lDt

в степенной ряд, получим, пренебрегая величинами

высшего порядка малости

P (Dt) = e-lDt =1 - lDt +

1

(lDt)2

- ... =1 - lDt + 0Dt @1 - lDt .

0

2!

Вероятность появления хотя бы одной заявки

mT

= sT

=

1

l

Одной

из

числовых

характеристик

для

потоков

является

коэффициент

вариации –

отношение среднего

квадратичного

к

математическому ожиданию:

u =

s

.

m

Для

реальных

потоков значение этого коэффициента лежит в

пределах

от 0

до 1.

Коэффициент

вариации характеризует степень

стохастичности,

непредсказуемости

потока.

Для регулярного

потока

с

равными

интервалами между

событиямиυ= 0. Для

простейшего

потока

υ= 1, то есть этот поток является наиболее стохастичным среди всех

потоков.

Заметим,

что показательное распределение интерваламежду

событиями –

недостаточное

условие

для

того, чтобы

поток

был

простейшим.

Рассмотрим пример. Пусть имеется простейший поток событий с

интенсивностью λ. Из этого потока формируется другой следующим

образом: точно в середину каждого интервала вставим еще одно событие.

Распределение интервалов в исходном потоке показательное

f (t) = l e-l t .

Новый поток событий имеет интенсивность2λ. Можно показать, что

интервалы времени в этом потоке тоже распределены по показательному

закону с функцией плотности вероятностей

f (t) = 2l e-2l t .

Тем

не

менее, полученный

поток

не

является

простейшим.

Рассмотрим два соседних интервала между событиями в этом потоке. С

вероятностью 1/2 они независимы, с вероятностью 1/2 равны друг другу,

следовательно,

зависимы. Таким

образом,

в

сформированном

потоке

присутствует последействие.

Простейший поток обладает следующими особенностями:

1.

Сумма

М независимых,

ординарных,

стационарных

потоков заявок с интенсивностями λi (i = 1, ..., М) сходится к простейшему

потоку с интенсивностью, равной сумме

интенсивностей

исходных

потоков

при

условии, что

складываемые

потоки

оказывают

приблизительно

одинаково

малое

влияние

на

суммарный.

поток

Сходимость суммарного потока к простейшему осуществляется очень

быстро.

Практически

можно

считать, что

сложение

четырех-пяти

стационарных,

ординарных,

независимых

потоков,

сравнимых

по

интенсивности, достаточно для того, чтобы суммарный поток был близок

к простейшему.

Таким образом, для выяснения всех свойств суммарного потока

достаточно

знать

лишь

интенсивности

суммируемых

потоков

и

практически не требуется знать внутреннюю структуру этих потоков.

Простейший поток обладает устойчивостью, состоящей в том, что

при суммировании независимых простейших потоков получается снова

простейший

поток,

причем

интенсивности

складываемых

потоков

суммируются.

2. Поток

заявок, полученный

путем

случайного

разрежения

где

λ — интенсивность

исходного потока. В отношении

исходного

потока

заявок делается предположение

лишь

об

ординарности и стационарности.

3.

Для

простейшего потока

характерно, что поступление заявок

через

короткие

промежутки

времени

более

вероятно, чем

через

определению

предельных

значений характеристик

качества

обслуживания. Если реальный

поток

отличен

от

простейшего, то

система будет

функционировать не

хуже,

чем

это

следует из

полученных оценок.

тем же среднимM[τ] = 1/λ,

что и

интервал

времени между

двумя

последовательными заявками.

Эта

особенность

простейшего

потока

практике. Кроме того,

при анализе СМО можно получить вполне

удовлетворительные

результаты, заменяя

входной

поток

любой

структуры простейшим с той же интенсивностью.

В заключение заметим, что выходные потоки обычно имеют

последствие, даже если входные потоки им не обладают. Рассмотрим,

например, СМО с фиксированным временем обслуживания τобсл (рис.2.8).

tобсл.

t1

t2

в пуассоновских потоках, а вероятности

появления этих

событий не

зависят от предыстории процесса.

Процессы в системах с дискретными

состояниями и

непрерывным

просеянным

(интервалы

времени

обслуживания

подчинялись

геометрическому распределению).

Теперь мы будем считать, что входной поток простейший с

интенсивностью λ, а

поток

обслуживания– пуассоновский

с

R '

Обозначим Ri (Dt) –

вероятность

прихода

за время t

i заявок, а

(Dt) – вероятность обслуживания за t

i заявок.

i

Тогда вероятность перехода системы из состояния s в

состояние s

+1 за время

t (увеличения числа заявок в системе на 1) будет равняться

¢

¢

ws, s +1 (Dt) = R1(Dt) × R0

(Dt) + R2 (Dt)R1 (Dt) + ...

144424443

0(Dt)

Ввиду ординарности потоков слагаемыми, начиная

со второго,

можно

пренебречь ,

подставив

в

формулу

соответствующие

вероятности, получаем

ws, s +1 (Dt) = l Dt(1 - m Dt) = l Dt +lm(Dt)2 »l Dt. .

Аналогично получим вероятности других переходов:

¢

¢

P (t)= P ,

P (t ) = P и, следовательно,

dP0 (t )

= 0 .

0

0

1

1

dt

- l P + m P = 0.

0

1

После

проведения

аналогичных преобразований для остальных

строк, система будет выглядеть так:

- l P + m P = 0 ;

0

1

уравнений,

которую

можно

достаточно просто решить и получить

значения вероятностей состояний. Но предварительно преобразуем ,её

начиная со

второго и

заканчивая предпоследним уравнением – новое

уравнение получаем сложением старого с новым предыдущим и заменяя

им старое значение.

В результате, новое предпоследнее уравнение будет совпадать со

старым последним уравнением, и все строки будут иметь вид:

- lPi + mPi +1 = 0 ,

(i =

1, n + 1).

Введем обозначения

l

= w,

P = p.

m

0

Проанализируем полученную систему.

- lP + mP = 0 ,

P =

l

P = w p ;

m

0

1

1

0

- lP + mP = 0 ,

P

=

l

P = w 2 p;

m

1

2

2

1

P

= w i p , i =

0, n + 2;

i

n +2

å Pi = 1 ;

i =0

или

n+2

p åw i = 1;

i=0