Таблица 3.1. Пример латинского плана

В результате имеем план, требующий 4x4= 16 прогонов, в отличие от ПФЭ для которого нужно 43 - 64 прогона.

Эксперимент с изменением факторов по одному(однофакторный план).

Суть его состоит в том, что один из факторов«пробегает» все l

вариантов эксперимента N=2m, k − число факторов.

3.11. Обработка экспериментальных данных

136

3.11.1. Экспериментальные оценки

иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема– с двумя-тремя десятками наблюдений, часто даже меньше. Это обычно связано с дороговизной и сложностью постановки каждого опыта. Такого ограниченного материала явно недостаточно для того, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения случайной величины, но все же этот материал может быть

определить—хотя бы ориентировочно– важнейшие числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание или дисперсию. На практике часто бывает, что вид закона распределения известен заранее, а требуется

Наконец, в некоторых задачах вид закона распределения вообще несуществен, а требуется знать только его числовые характеристики.

Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины в п

Такое приближённое, случайное значение называютоценкой параметра. При большом числе опытов оценка будет близка к значению параметра, при малом может иметь место достаточно большая ошибка. Желательно выбрать оценку так, чтобы эта ошибка была минимальна.

Пусть имеется случайная величинаX, закон распределения которой содержит параметр а. Надо найти оценку дляа по результатам n независимых опытов.

137

Пусть в результате проведенных опытов были получезныачения

чтобы быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой:

-оценка a~ состоятельная, если при увеличенииn она приближается (сходится по вероятности) к a;

-оценка несмещённая, если математическое ожидание оценки M[ã]=a;

-оценка, обладающая по сравнению с другими наименьшей

дисперсией, называется эффективной.

На практике не всегда удаётся удовлетворить всем этим требованиям. Иногда в интересах простоты расчётов применяют незначительно смещённые оценки.

3.11.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии

Пусть имеется случайная величинаX с математическим ожиданиемm и дисперсией D.

Произведено n опытов, давших результаты

Эта оценка является состоятельной(т.к. по теореме Чебышева частоты сходятся к математическому ожиданию при n ® ¥ ) и несмещённой т.к.

Рассмотрим оценку дисперсии. Можно использовать в качестве оценки статистическую дисперсию:

138

сумму, то получим

M [ D * ] = n - 1 D , n

т.е. эта оценка не является несмещённой. Смещение можно ликвидировать,

математического ожидания и дисперсии можно использовать следующие соотношения:

математического ожидания и дисперсии в ходе моделирования без сохранения xi в массиве.

3.11.2. Доверительные интервал и вероятность

Мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметраодним числом ã (это так называемая точечная оценка). В ряде задач требуется не

139

только найти для параметраа подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность

Надо знать, к каким ошибкам может привести замена на ã и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за заданные пределы. Это особенно актуально при малом числе наблюденийn. Чтобы дать представление о точности и надёжностиa~ пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть дляа из опыта получена оценкаa~ . Зададим достаточно большую вероятность β такую, что событие с такой вероятностью можно считать практически достоверным. Найдём такое значение ε, для которого:

Перепишем выражение так:

P(a~ - e < a < a~ + e) = b .

~ - < e = b

P( a a ) .

Затруднение состоит в том, что закон распределения оценкиa~ зависит от закона распределения величиныX и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого параметра а).

140

Чтобы обойти это затруднение, можно применить следующий грубо приближенный прием: заменить в выражении для ε неизвестные параметры их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытовп (порядка 20 ¸30) этот прием обычно дает удовлетворительные по точнос результаты.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для

n

Между ε и доверительной вероятностьюβ существует связь и её можно выразить аналитически, используя функцию распределения.

Для нормального закона функция плотности вероятности

Функция распределения

x

F (x) = ò f (x)dx .

-¥

Обозначим t = x s- m и сделаем замену переменной выражение для F(x):

Этот интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функциюФ*(x), для которой составлены таблицы:

F (x) = Ф*( x s- m) .

141