Семінарське заняття 3

Тема 3. Пряма, площина. Тема 4. Криві та поверхні другого порядку

Питання для усного опитування та дискусії

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині.

3.2. Види рівнянь площини.

3.3. Пряма у просторі. Задачі на пряму і площину

4.1. Коло, еліпс, гіпербола, парабола.

4.2. Циліндричні та конічні поверхні.

4.3. Поверхні обертання.

4.4. Поверхні другого порядку

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : загальне рівняння прямої, нормальне рівняння прямої, рівняння прямої у відрізках на осях, пучок прямих, відстань від точки до прямої, загальне рівняння площини, нормальне рівняння площини, відстань від точки до площини, векторне рівняння прямої, канонічні рівняння прямої, параметричні рівняння прямої, загальні рівняння прямої, коло, еліпс, гіпербола, парабола, циліндр, конус, поверхня обертання, гіперболоїд (одно порожнинний, двопорожнинний), параболоїд, еліптичний параболоїд, гіперболічний параболоїд.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

Пряма, площина

1. Різні види рівнянь прямої лінії

Перейдемо до вивчення аналітичної геометрії на площині.

В прямокутній декартовій системі координат будь-яка пряма може бути представлена рівнянням першого степеня відносно та. Якщо пряма паралельна осі, то її рівняння має вигляд:.

Загальне рівняння першого степеня виду визначає пряму і тільки пряму лінію (на площині). Рівнянняназиваєтьсязагальним рівнянням прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд:

.

Означення. Сукупність всіх прямих, які проходять через деяку точку площини, називається пучком прямих, а їх спільна точка – центром пучка. Рівняння пучка прямих з центром в точці має вигляд:

(– параметр пучка).

У цій формі запису є всі прямі пучка, крім однієї – паралельної до осі .

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки, має вигляд: .

Розглянемо нормальне рівняння прямої:

, або .

Рівняння тоді і тільки тоді буде нормальним рівнянням, колиі.

Щоб звести загальне рівняння першого порядку до нормального виду, його слід домножити на нормуючий множник , причому знакобирають протилежним до знаку вільного члена.

Користуючись нормальним рівнянням прямої на площині, можна легко знайти віддаль від точки до прямої на площині.

Означення. Відхиленням точки від прямої називається віддаль від точки до прямої, взята із знаком “–”, якщо точка і початок координат лежать по різні сторони від даної прямої, і із знаком “–”, якщо вони лежать по одну сторону від прямої.

Нехай пряма лінія задана нормальним рівнянням:

, – задана точка.

Маємо правило: щоб одержати відхилення d точки від даної прямої, необхідноe ліву частину нормального рівняння цієї прямої підставити замість числата.

Віддаль точки від прямої – це модуль відхилення, або

Наприклад: Знайти віддаль від точки до прямої

.

Розв’язування. Зведемо рівняння прямої до нормального виду: ; нормальне рівняння має форму:. Шукана віддаль дорівнює