4. Границя послідовності

Операція граничного переходу застосовувалася ще у Древній Греції. Строгу, чітку теорію границь почав створювати І. Ньютон у 1686 році.

У 17-18 століттях така теорія була створена зусиллями багатьох видатних математиків – Даламбера, Коші, Гейне та інших.

Франція, областю визначення якої є множина чисел натурального ряду , називаєтьсяпослідовністю. У випадку, коли значення функції належать множині дійсних чисел, послідовність називається числовою.

Наприклад, у випадку послідовності з загальним членоммаємо:.

Означення. Число називаєтьсяграницею послідовності , (це записують так: ) якщо для будь-якого числазнайдеться такий номер, що всі членипослідовності з номерамизадовольняють умову:.

У деяких випадках говорять, що . Це означає, щонеобмежено зростає при.

Уточнимо це питання. Якщо для будь-якого (як завгодно великого) числа існує такий номер, починаючи з якого, всі члени послідовностімають таку властивість:

а) ; б); в),

то говорять, що дорівнює

а) нескінченності;

б) плюс нескінченності;

в) мінус нескінченності і пишуть:

а) ; б); в).

Наведемо приклади відшукання границь за наведеним вище означенням границі.

Приклад 1. Показати, що , якщо– загальний член послідовності.

Розв’язування. Виберемо . Тоді нерівністьнабуває вигляду. розв’язавши її відносно, одержимо:. Таким чином, вибравши, зауважуємо, що при всіхвиконується нерівність, що і потрібно було довести.

Приклад 2. Довести, що .

Розв’язування. Нерівність набуває форми:. Розв’язавши її, одержуємо:. Вибравшиі виконуючи викладки в оберненому порядку, будемо мати:

, що і потрібно було довести.

Приклад 3. Послідовність не має границі при, оскільки приі т.д. її члени не наближаються необмежено ні до якого числа.

На практиці користуються різними ознаками збіжності послідовності. Наведемо деякі з них.

Критерій збіжності Коші (необхідна та достатня ознака збіжності послідовності).

Якщо послідовність має границю, то виконується така умова: для будь-якогознайдеться таке, що всі члени послідовності з номерамизадовольняють нерівність:.

І навпаки, якщо послідовність має ту властивість, що для будь-якогознайдеться таке число, що всі члени послідовності з номерамизадовольняють нерівність:, то така послідовність має границю.

Наведемо дві достатні ознаки існування границі послідовності.

Ознака 1 (“теорема про двох міліціонерів”). Нехай дано послідовності , причому. Тоді якщо,, то і.

Ознака 2. Якщо послідовність монотонно зростає і обмежена зверху (або монотонно спадає і обмежена знизу), то вона має скінченну границю.

Означення. Скінченну границю послідовності приназиваютьчислом е

.

Число е – ірраціональне; що приблизно дорівнює 2,7182818....

5. Границя функції

Розглянемо функцію . Нехай необмежена зміннанеобмежено наближається до числа(це означає, щоприймає значення, як завгодно близькі до, але відмінні від):.

Число називаєтьсяграницею функції при, якщо для всіх значень, що досить мало відрізняються від числа, відповідні значення функціїяк завгодно мало відрізняються від числа:. Інакше кажучи, якщо для будь-якого як завгодно малого числаіснує таке число, що для всіх, які належать-околу точки

,

буде виконуватися нерівність

,

то число є границею функціїпри. (Це – означення границі, запропоноване Коші).

Покажемо, наприклад, що границею функції приє число 5. Задамо довільне значення. Для того, щоб виконувалася нерівність, або, достатньо, щоб справджувалася нерівність(тобто).

Наведемо геометричну ілюстрацію поняття границі функції для випадку, коли (рис.9).

0 δ

Рис.9. Границя функції:

В прямокутній декартовій системі координат з точки проведемо перпендикуляр до осі, а з точки– до осі. Ці перпендикуляри перетнуться в точці. Задамо. Із побудови, вказаної на рис.9, випливає, що існує такий-окіл точки, що частина графіка функції, яка відповідає цьому околу, буде розміщена в полосі, обмеженій прямимита.

Наведемо означення границі функції по Гейне.

Нехай функція визначена у всіх точках інтервалу, крім, можливо, точки. Побудуємо послідовність,таку, щоб всі члени послідовності належали проміжкуі послідовність збігалася до числа:.

Тоді значення функції

.

також утворюють деяку числову послідовність.

Говорять, що число єграницею функції при, якщо для будь-якої послідовності значень, що збігається до, відповідна послідовність значень функції збігається до числа(тобто).

За допомогою наведеного означення неважко переконатися, наприклад, у тому, що функція не має границі при.

Для цього побудуємо дві послідовності значень аргументу, що прямують до нуля при :

(1) .

(2) .

Відповідні значення функції у випадку (1) дорівнюють 1, а у випадку (2) – (-1). Оскільки , функція не має границі при.

Дамо означення границі функції у випадку нескінченно великого аргументу.

Число називаєтьсяграницею функції при, якщо для всіх досить великих значень відповідні значення функціїяк завгодно мало відрізняються від числа:.

Інакше кажучи, число є границею функціїпри, якщо для будь-якого як завгодно малогоможна підібрати таке число, що для всіхсправджуватиметься нерівність:

.

Аналогічно можна дати означення границі функції при.

Означення. Функція називаєтьсянескінченно великою при , якщо для всіх значень, що досить мало відрізняються від, відповідні значення функціїза абсолютною величиною перевищують будь-яке наперед задане як завгодно велике додатне число:. Інакше кажучи, якщо для будь-якого додатного числа(як завгодно великого) можна підібрати таке додатне число, що для всіх, які задовольняють нерівність, буде справджуватися нерівність, то функціябуде нескінченно великою при.

Дамо означення границі функції двох змінних , ввівши поняття околу точки.

Околом радіуса точкиназивається сукупність всіх точок_, які задовольняють нерівність

(тобто сукупність всіх точок, що лежать в середині круга радіуса з центром в точці).

Припустимо, що функція визначена у деякій області площини, що містить точку.

Число називаєтьсяграницею функції при прямуваннідо точки, якщо для кожного числазнайдеться таке число, що для всіх точок, для яких виконується нерівність, має місце нерівність. У цьому випадку пишуть:

.