Семінарське заняття 8

Тема 8. Екстремум функції двох змінних

Питання для усного опитування та дискусії

8.6. Необхідні умови існування екстремуму функції двох змінних.

8.7. Достатні умови існування екстремуму функції двох змінних.

8.8. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

8.9. Метод найменших квадратів.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : необхідні умови існування екстремуму, достатні умови існування максимуму (мінімуму), найбільше (найменше) значення функції двох змінних, задача на умовний екстремум, функція Лагранжа, метод множників Лагранжа, метод найменших квадратів.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

1. Необхідні та достатні умови екстремуму функції двох змінних

Точка називаєтьсяточкою екстремуму (максимуму або мінімуму) функції , якщо повний приріст функції в цій точціпри всіх досить малих приростах незалежних змінних.

Зауважимо, що, згідно з означенням, точка екстремуму функції обов’язково лежить всередині області визначення функції.

Має місце така

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо функція досягає екстремуму при, то кожна частинна похідна першого порядку відабо перетворюється в нуль при цих значеннях аргументів, або не існує.

Дійсно, зафіксуємо . Тоді функціябуде функцією однієї змінної. Оскільки привона має екстремум (максимум чи мінімум), тоабо дорівнює нулю, або не існує. Аналогічно можна довести, щоабо дорівнює нулю, або не існує.

Теорема 1 доведена. Зауважимо, що ця теорема не дає достатніх умов існування екстремуму.

Розглянемо такий приклад. Нехай (маємо рівняння гіперболічного параболоїда. Знайдемо частинні похідні. В точцівиконуються необхідні умови існування екстремуму:. Але функція не має в цій точці ні максимуму, ні мінімуму.

Точки, в яких або не існує таабо не існує, називаютьсякритичними точками функції .

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму).

Нехай в деякій області, що містить точку , функція має неперервні частинні похідні до третього порядку включно. Нехай, крім того, точкає критичною точкою функції, тобто,. Позначимо;;.

Тоді при

1. функція має максимум, якщо,(або С<0);

2. функція має мінімум, якщо,(або С>0);

3. функція не має ні максимуму, ні мінімуму, якщо ;

4. якщо , то ніякого висновку про характер критичної точки зробити не можна без додаткового дослідження.

Якщо в точці, то говорять, що функція має в цій точці мінімакс. Так, у розглянутому прикладі (випадок гіперболічного параболоїда) маємо:,,. Таким чином,. Отже,– випадок мінімаксу.

4. Якщо , то потрібне додаткове дослідження.

1. Умовний екстремум

Нехай задана функція та лінія _{L у площині хоу.} Задача полягає в тому, щоб на лінії _L знайти таку точку , в якій значення функції є найбільшим чи найменшим у порівнянні із значеннями функції в точках лінії _L, що знаходяться поблизу точки _, називаються точками умовного екстремуму на лінії _L.

Підкреслимо, що значення функції в точках умовного екстремуму порівнюються із значеннями функції не у всіх точках деякого околу, а тільки в тих, які лежать на лінії _L..

Звичайний екстремум співпадає з умовним (для будь-якої лінії, що проходить через цю точку), але не навпаки.

Наприклад. Для функції – верхньої напівсфери – максимум знаходиться в точціі йому відповідає точка. Умовний максимум на прямійдосягається в точціі йому відповідає точка.

Щоб знайти умовний екстремум функції при умові, що її аргументи зв’язані рівнянням зв’язку (лінія _L), складають функцію Лагранжа F(x,y, ( – cталий множник) та знаходять звичайний екстремум цієї функції.

Необхідні умови екстремуму зводяться до системи трьох рівнянь

; або

З цієї системи визначають іі для цих значень досліджують знак другого диференціала функції Лагранжа

(при умові, що іпов’язані рівнянням).

Функція має умовний максимум, якщо, та умовний мінімум, якщо. Зокрема, якщо вираздля функціїу стаціонарній точці додатний, то в цій точці є умовний максимум функції, якщоабо, та умовний мінімум, якщоабо.

Наприклад. Знайти екстремум функції при умові, щотазадовольняють рівняння. Інакше кажучи, знайти найбільше і найменше значення аплікатиплощинидля точок її перетину з циліндром.

Розв'язування. Складемо функцію Лагранжа

.

Знаходимо: ,,.

Розв’язуємо систему рівнянь

Знаходимо:

а) ;

б) .

При цьому , так що. У випадку а), тобто при(при цьому). Отже, функція має умовний мінімум. У випадку б)– маємо умовний максимум.

Зазначимо, що функція, диференційована в обмеженій замкненій області, досягає свого найбільшого (найменшого) значення або в стаціонарній точці, або в точках границі області.