2. Нормальне рівняння площини

Нехай задано точку – початок координат, а також деяку площину. (рис.1).

Рис.1. Площина

Положення цієї площини однозначно визначається, якщо задати одиничний вектор нормалі до площини та довжину(віддаль від точки О до). Для будь-якої точки площинивиконується умова:

(1)

Умова (1) виконується лише для точок площини. Оскільки , рівняння (1) можна записати у вигляді

()

Рівняння () називаєтьсянормальним рівнянням площини у векторній формі.

Перейдемо від векторів до скалярів, враховуючи координати векторів та:

.

Одержуємо координатне рівняння

,

(2)

яке називається нормальним рівнянням площини в координатній формі.

Отже, будь-яка площина може бути представлена рівнянням першого степеня відносно та.

3. Загальне рівняння площини

Має місце обернена теорема: будь-яке рівняння 1-го степеня з трьома змінними визначає площину.

Дійсно, нехай ми маємо рівняння

(3)

Розглянемо вектор та вектор. Рівняння (3) можна записати у векторній формі:

(4)

Рівняння (4) можна звести до нормального виду (і, отже, побудувати відповідну площину).

а) Якщо , то рівняння (4) ділимо на. Одержуємо:

, де .

б) Якщо , то рівняння (4) ділимо на:

, де .

в) Якщо , то, поділивши рівняння (4) наабо, також одержуємо нормальне рівняння площини.

Рівняння називаєтьсязагальним рівнянням площини. Будь-який ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називається нормальним вектором площини.

Згідно з доведеним, вектор буде одним з нормальних векторів до площини.

Нормальне рівняння площини є частинним випадком загального рівняння, коли нормальний вектор має одиничну довжину і направлений з початку координат до площини.

Сформулюємо правило зведення загального рівняння площини до нормального виду.

Щоб звести загальне рівняння площини до нормального виду, потрібно поділити його на довжину вектора , взявши її із знаком “+”, якщо, і із знаком “–”, якщо. Інакше кажучи, загальне рівняння площини слід помножити на нормуючиймножник , причому знаквибирається протилежним до знака вільного члена(признаквибирається довільно):

.

При цьому . Отже,Таким чином, будь-яке рівняння 1-го степеня відносновизначає площину.

Приклад. Звести до нормального виду рівняння площини .

Маємо:

–нормальне рівняння.

При цьому .

Проведемо дослідження загального рівняння площини

(4)

Якщо , то площина проходить через початок координат.

Якщо , то площина паралельна осі, бо нормальний векторперпендикулярний осі. Аналогічно приплощина паралельна осі, а при– осі.

Якщо , то площина проходить через початок координат і паралельна осі; отже, маємо рівняння площини, яка проходить через вісь. Аналогічно маємо: приплощина проходить через вісь, а при– через вісь.

Якщо , то площина паралельна площині; якщо– площині; якщо– площині; якщо– площині.

І, нарешті, якщо , то одержуємо рівняння площини. При– площини.