2. Функція двох змінних

Розглянемо питання про функцію двох змінних.

Якщо кожній парі значень двох, незалежних одна від другої, змінних величиніз деякої області їх змінивідповідає певне значення величини, то говорять, щоєфункцією двох незалежних змінних і, визначено в області.(і т.п.)

Сукупність пар значеньі, при якій визначена функція, називаєтьсяобластю визначення цієї функції.

Областю визначення функції може бути вся площина або деяка її частина. Лінія, яка обмежує дану область, називається її границею. Точки області, які не лежать на границі, називаються внутрішніми точками області. Область, що складається із самих тільки внутрішніх точок, називається відкритою (незамкненою). Якщо до області відносяться і точки границі) то область замкнена.

Наприклад.

а) Область визначення функції – вся площина (відкрита область).

б) Область визначення функції – вся площина, крім точок прямої(рис.6). Це – відкрита область.

в) Для функції областю визначення є круг(рис.7). Це – замкнена область.

Рис.6. Область

2 Рис.7. Область

Наприклад, функція двох змінних , задана аналітично – це параболоїд обертання (рис.8).

Рис.8. Параболоїд

При в перерізі одержуються кола.

Цим методом (побудовою перерізів) часто користуються, вивчаючи характер поверхонь. Лініями рівня функції називають лінії, що визначаються з рівняння:.

Наприклад, лінії рівня функціїпризображені на рис. 9 .

Рис.9.Лінії рівня

3. Нескінченно малі та нескінченно великі величини

Перед тим, як перейти до вивчення питання про границю послідовності і границю функції, познайомимося з нескінченно малими і нескінченно великими величинами.

Зазначимо, що з усієї множини змінних величин можна виділити такі, у яких процес зміни відбувається особливим чином.

Означення. Змінна величина називаєтьсянескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної стає і залишається менше будь-якого, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа, тобто. Зокрема, єдиною нескінченно малою величиною серед сталих величин є величина.

Нескінченно малі величини, позначають, як правило, буквами грецького алфавіту .

Величина при необмеженому зростанніє нескінченно малою величиною. Дійсно, нерівністьвиконується, як тількистає більшим, ніж(тут квадратні дужки є знаком цілої частини числа).

Нескінченно малі величини мають такі основні властивості

1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих величин є величина, нескінченно мала.

Дійсно, наприклад, у випадку двох доданків і– нескінченно малих величин, їх алгебраїчна сума – нескінченно мала. Це випливає з наступної нерівності:

.

Ця ж властивість легко поширюється на випадок нескінченно малих доданків, де– нескінченне число.

2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина, нескінченно мала.

Дійсно, якщо – обмежена, а– нескінченно мала величина, тобто, то має місце оцінка, що і доводить властивість.

З другої властивості випливає, що добуток сталої величини на нескінченно малу величину є величина, нескінченно мала, а також що добуток скінченого числа нескінченно малих величин є нескінченно малою величиною.

Означення. Змінна величина називаєтьсянескінченно великою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина стає і залишається більше будь-якого, як завгодно великого, наперед заданого додатного числа, тобто.

Наприклад, величина при необмеженому зростанніє нескінченно великою величиною.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує зв’язок: якщо – нескінченно велика величина, то– нескінченно мала величина і навпаки, якщо– нескінченно мала величина, то– нескінченно велика величина.

Постійна величина називаєтьсяграницею змінної величини , якщо– нескінченно мала величина (тобто). Якщоє границею змінної величини, то говорять, щопрямує до границіі позначають:

, або .

Звідси випливає, що , де– нескінченно мала величина. Нескінченно велика величинаскінченої границі не має.

Зауважимо, що коли деяка змінна величина має границю, то лише одну, а сама змінна величина в процесі своєї зміни відрізнятиметься від своєї границі на нескінченно малу величину .

Нескінченно малі та нескінченно великі величини можна порівнювати, досліджуючи їх відношення. Так, нескінченно малі величини іназиваються малимиодного порядку, якщо їх відношення має скінченну границю , відмінну від нуля. Приіназиваються еквівалентними нескінченно малими величинами. Якщо, тоназивається нескінченно малою величиною вищого порядку малості, ніж.

Аналогічно порівнюють нескінченно великі величини.

Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин називають розкриттям невизначеності їх відношення.