9. Частинні похідні та диференціали функції двох змінних

Частинні прирости по та пофункції двох зміннихвизначаються так:

.

Повний приріст цієї функції дорівнює

.

Частинною похідною по від функції називається границя відношення частинного приростудо прироступри умові, що:

Цю похідну позначають також як .

Аналогічно визначають частинну похідну як границю відношення частинного приростудо прироступри прямуванні останнього до нуля:

.

На практиці користуються таким правилом: щоб знайти частинну похідну , потрібно шукати похідну пов припущенні, що– стала величина. Аналогічно для знаходження частинної похідноїшукають похідну пов припущенні, що– стала величина.

Наприклад, частинні похідні функції мають вигляд:,.

Частинним диференціалом по функції називається головна частина частинного приросту, пропорційна приростунезалежної змінної.

Аналогічно визначається частинний диференціал по .

Частинний диференціал функції двох незалежних змінних дорівнює добуткові відповідної частинної похідної на диференціал цієї змінної:

, .

Повним диференціалом функції двох незалежних змінних називається головна частина повного приросту функції, лінійна відносно приростів незалежних змінних.

Можна довести, що повний диференціал функції двох незалежних змінних дорівнює сумі добутків частинних похідних функції на диференціали відповідних незалежних змінних:

,

тобто диференціал функції двох незалежних змінних дорівнює сумі її частинних диференціалів.

Функція двох незалежних змінних, яка має в деякій точці диференціал, називається диференційовною в цій точці можна довести, що коли функція має в точцінеперервні частинні похідніта, то в цій точці функція диференційовна.

Геометричний зміст повного диференціала функції випливає з наступного твердження: повний диференціал функціїпридорівнює приросту аплікати точки дотичної площини, проведеної до поверхнів її точці.

Застосування повного диференціала в наближених обчисленнях базується на заміні повного приросту функції її повним диференціалом: , що справджується при малихта. Звідси одержуємо робочу формулу:

10. Похідна по напряму. Градієнт функції

а) Нехай задана функція . Візьмемо точкута який-небудь промінь, що з неї виходить. Напрямок цього променя задамо кутом, який промінь утворює з напрямком осі. Одиничний вектор, направлений по променю, характеризується координатами().

Похідною функції в напрямку (де – точка, що лежить на промені ) називається , деі– значення функції в точкахі. Якщо функція– диференційовна, то має місце формула:

Наприклад. Знайти похідну функції в точців напрямку, що утворює з віссюкут в. Розв’язок. Визначимо частинні похідні іта обчислимо їх значення в точці:. Враховуючи, що,

.

Знак плюс показує, що функція в даній точці і в даному напрямку зростає.

б) Градієнтом функції називається вектор, проекціями якого на координатні осі є відповідні частинні похідні даної функції:

Похідна в даному напрямку дорівнює проекції градієнта функції на напрямок диференціювання:

Градієнт функції в кожній точці направлений перпендикулярно до відповідної лінії рівня функції. Напрямок градієнта функції в кожній точці вказує напрямок найбільшої швидкості зростання функції в цій точці.

Наприклад. Знайти в точціякщо.

Розв’язок. Визначаємо тав даній точці:

.

Отже, .