2. Поверхні обертання

Розглянемо поверхні обертання. Нехай в площині дана лінія:(рис.1).

0

Рис.1. Поверхня обертання

Будемо обирати цю лінію навколо осі . Нехай– довільна точка на поверхні обертання. Проведемо через цю точку площину, перпендикулярну до осі. В перерізі одержимо коло з центром в точці. При цьому. Помічаємо, що, і рівняння поверхні обертання має вигляд:. Отже, маємо такеправило: щоб одержати рівняння поверхні, утвореної обертанням ліній , яка лежить в площині, навколо осі, потрібно в рівнянні цієї лінії замінитина.

Наведемо кілька прикладів на поверхні обертання.

Приклад №1. Обертаючи еліпс навколо осі, одержимо:

;

навколо осі –. Це – еліпсоїди обертання. Якщо, одержуємо сферу.

Приклад №2. Обертаючи гіперболу , навколо осі, одержимо двопорожнинний (двополий) гіперболоїд обертання(рис.2). Якщо ж цю гіперболу обертати навколо осі, одержимо однопорожнинний (однополий) гіперболоїд обертання(рис.3).

0 Рис.2. Двопорожнинний гіперболоїд обертання

0 Рис.3. Однопорожнинний гіперболоїд обертання

Приклад №3. Обертаючи параболу навколо осі, одержуємо параболу обертання(рис.4).

0

Рис.4. Параболоїд обертання

3. Поверхні другого порядку

а) Еліпсоїд. Якщо еліпсоїд обертання навколо осі

перетнути площиною , в перерізі одержимо коло:.

Уявимо тепер фігуру, перерізи якої площинами виду – еліпси:

, тобто .

Виключаючи з системи рівнянь, одержимо, або– це рівнянняеліпсоїда. При одержуємо, зокрема,сферу. Якщо ,,, то еліпсоїд називається трьохосним. (рис.5).

б) Однополий гіперболоїд. Перетинаючи однополий гіперболоїд обертання площинами , в перерізах будемо одержувати кола(радіуси кіл дорівнюватимуть,). Уявимо тіло, в перерізі якого площинамиодержуються еліпси:

.

Такі еліпси описують поверхню, рівняння якої ми одержимо, виключивши з останньої останньої системи рівнянь:

.

Це – однополий гіперболоїд з на півосями (рис.6).

Рис.5. Еліпсоїд

0 Рис.6. Однополий гіперболоїд

в) Двополий гіперболоїд. Перетинаючи двополий гіперболоїд обертання , одержаний при обертанні гіперболи навколо осі, площиною, в перерізі одержимо коло радіуса. Якщо замість кола розглядати еліпс _, то цей еліпс при зміні у проміжкахтаописує двополу поверхню, рівняння якої одержимо, виключивши з системи:

Це – рівняння двополого гіперболоїда з напівосями . (рис.7)

0

Рис.7. Двополий гіперболоїд

г) Еліптичний гіперболоїд. Перетинаючи параболоїд обертання площиною, в перерізі одержимо коло.

Візьмемо замість кола еліпс ()

При змінівід 0 доцей еліпс описує поверхню, яка називаєтьсяеліптичним параболоїдом (рис.8). , або.

0

Рис.8. Еліптичний параболоїд

д) Гіперболічний параболоїд (рис.9) – це поверхня, рівняння якої

_.

Площинаперетинає цю поверхню по параболі, а площина– по гіперболі.

z

x

y

Рис.9. Гіперболічний параболоїд

Зауважимо, що однополий гіперболоїд та гіперболічний параболоїд мають прямолінійні твірні, тобто можуть бути утворені завдяки рухові прямої. Цим користуються у будівництві для спорудження опор, башень, мачт.

До поверхонь другого порядку належить також згадані вище поверхні - конуси і циліндри (рис 10, 11).

Рис.10. Еліптичний циліндр	Рис.11. Гіперболічий циліндр