11. Диференціювання складних функцій

Розглянемо питання про диференціювання складних функцій.

а) Випадок однієї незалежної змінної.

Якщо аргументи тадиференційовної функціїє диференційовними функціями незалежної змінної:

,

то похідна складної функції може бути знайдена за формулою:

.

Наприклад, . Тоді

.

б) Випадок двох незалежних змінних. Нехай – складна функція двох незалежних змінних:.

Нехай та– функції виду,, дета– незалежні змінні, ата– диференційовні функції. Тоді частинні похідніпотавиражаються так:

,

.

Для всіх цих випадків має місце формула

,

яка виражає властивість інваріантності повного диференціалу.

Наприклад. Знайти і, якщо, де.

Розв’язування. Оскільки , одержуємо:

;

.

12. Геометричні застосування диференціального числення функції двох змінних

За допомогою частинних похідних можна записати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні:

Дотичною площиною до поверхні в точці називається площина, в якій лежать всі дотичні в точцідо різних кривих, проведених на поверхні через цю точку.

Нормаллю до поверхні називається перпендикуляр до дотичної площини в точці дотику.

Якщо рівняння поверхні в декартовій системі координат задано в явній формі , де– диференційовна функція, то рівняння дотичної площини в точціповерхні є/

Тут , а– координати точок дотичної площини.

Рівняння нормалі (в канонічній формі) такі:

(тут – координати точок нормалі).

Наприклад. Складемо рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці.

Розв’язування. Визначаємо та. Маємо:

.

Рівняння дотичної площини:

, тобто .

Рівняння нормалі:

.

У випадку неявного задання поверхні тавідповідні рівняння матимуть вигляд(рівняння дотичної площини) та (рівняння нормалі).

Наприклад. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

в точці .

Розв'язування. Визначимо тав точці. Маємо:

; ;. В точціодержуємо:

; ;. Рівняння дотичної площини:

;

тобто ;

рівняння нормалі:

.

13. Похідні і диференціали вищих порядків

Розглянемо питання про похідні та диференціали вищих порядків.

а) Нехай функція має частинні похідніта.

Частинні похідні від цих функцій називаються другими частинними похідними, або частинними похідними другого порядку від даної функції . Отже, маємо чотири частинні похідні другого порядку:

;

;

.

Похідні таназиваютьсязмішаними. Можна довести, що коли другі змішані похідні функції неперервні, то вони між собою рівні:.

В такому випадку шукають не чотири, а три похідні другого порядку:

.

Частинні похідні від частинних похідних другого порядку називаються частинними похідними третього порядку (або третіми частинними похідними) і т.д. Функція двох змінних маєчастинну похідну-го порядку:

б) Повним диференціалом другого порядку називається повний диференціал від повного диференціалу першого порядку (при умові, щоівважаються сталими):

. Знайдемо частинні похідні:

;

.

Отже, .

Аналогічно визначаються повні диференціали вищих порядків. Наприклад, повний диференціал третього порядку дорівнює

.

Якщо функція має в околі точкинеперервні частинні похідні всіх порядків до-го включно, то в цьому околі справедливаформула Тейлора:

.

Тут ,.