8. Пряма лінія у просторі (векторне рівняння; параметричні та канонічні рівняння; пряма як лінія перетину площин)

Положення прямої лінії у просторі буде цілком визначене, якщо задати на прямій точку за допомогою її радіус-вектораі вектор, якому пряма паралельна.

Вектор називаєтьсянаправляючим вектором прямої. Нехай – довільна точка прямої. Зауважимо, що, тобто(– деякий параметр). Нами одержано векторне рівняння прямої лінії. Перейдемо до координатних рівнянь:

,

які називаються параметричними рівняннями прямої. Замість параметричних часто користуються так званими канонічними рівняннями, які одержуються при виключенні з параметричних рівнянь:

Ці рівняння визначають пряму як лінію перетину двох площин: площини: площини , паралельної осі, та площини,паралельної осі . Будь-яка пряма може бути виражена рівняннями двох площин, які проходять через неї і проектують її на координатні площини. Взагалі, будь-яку пряму можна визначити як лінію перетину двох площин:

Це – так звані загальні рівняння прямої лінії.

9. Кут між прямими

Кутом між двома прямими у просторі називається будь-який із кутів, утворених двома прямими, проведеними через будь-яку точку паралельно даними прямим.

Вважаємо, що цей кут знаходиться в межах.

нехай прямі задані канонічними рівняннями:

та .

Знайдемо кут між векторами та(або кут, що дорівнює його до). Одержуємо:

(Зауважимо, що )

Умова перпендикулярності двох прямих:

Умова паралельності двох прямих:

(Ці умови рекомендується одержати самостійно).

10. Кут між прямою і площиною

Нехай задані пряма і площина.

Кутом між прямою і площиною називається будь-який із двох суміжних кутів, утворених прямою і її проекцією на площину.

Зауважимо, що– це кут між прямою і перпендикуляром до площини (рис.5).

Рис.5. Кут між прямою і площиною

Маємо:

(Знак модуля ставиться через те, що ).

Одержуємо:

Умова паралельності прямої і площини:

.

Умова перпендикулярності прямої і площини:

.

11. Перетин прямої з площиною

Щоб знайти перетин прямої з площиною, потрібно сумісно розв’язати систему цих трьох рівнянь. Зручно це зробити так. Нехай. Тоді,,. Підставимо ці вирази в рівняння площини:

.

Звідси маємо: .

Якщо , то існує єдина точка перетину прямої і площини, яку легко знайти. Якщо,, то пряма і площина не перетинаються (оскільки пряма паралельна площині, а точкане лежить на площині). І, нарешті, при,пряма лежить на площині.

Лінії другого порядку

а) Коло, еліпс.

Загальне алгебраїчне рівняння 2-го степеня відносно тамає вигляд:

(1)

причому хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля.

Розглянемо деякі випадки рівняння (1).

Складемо рівняння кола з центром в точці радіуса:

, або (2)

Розклавши дужки та звівши подібні члени в (2), маємо:

. (3)

Рівняння (3) – це частинний випадок рівняння (1), причому коефіцієнти при тарівні між собою, а член звідсутній. Виявляється, що рівняння,є рівнянням кола, точки або уявного кола. Дійсно, поділивши обидві частини цього рівняння ната виділяючи повний квадрат пота по, маємо:

(4)

(тут ,,). Якщо права частина рівняння (4) більша нуля, то ми маємо рівняння типу (2); якщо нуль, то одержуємо рівняння точки(кола нульового радіуса). У противному випадку геометричного образу рівняння (4) немає (це – так зване “уявне коло”).

Еліпсом називається геометричне місце точок, сума віддалей яких до двох даних точок (фокусів) є величина стала (2а).

Щоб скласти рівняння еліпса, приймемо за вісьпряму, що з’єднує дві дані точкиі, причому за додатній напрямок осі вважаємо напрямок віддо. Нехай початок координат знаходиться посередині відрізка. Нехай відстань між фокусами дорівнює, так що координати фокусів такі:(рис.1).

0

Рис.1. Еліпс

Маємо: ;. Згідно з означенням, одержуємо рівняння еліпса:

. (5)

Щоб звести рівняння (5) до найпростішої (канонічної) форми, позбуваємося ірраціональностей. Маємо:

(6)

(перевірити самостійно!).

Оскільки , позначимота поділимо обидві частини рівняння (6) на його праву частину:

. (7)

Це і є канонічне рівняння еліпса.

Осі координат є осями симетрії еліпса (– фокальна вісь). Точка перетину осей симетрії (точка) називаєтьсяцентром еліпса. Точки перетину еліпса з його осями симетрії називаються вершинами еліпса.

Відрізки, що з’єднують протилежні вершини еліпса, а також їх довжини і, називаютьсявеликою і малою осями еліпса. При еліпс перетворюється у коло:.

б) Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця віддалей яких до двох даних точок (фокусів) є стала величина (2а).

Позначимо віддаль між фокусами 2с (при цьому, на відміну від попереднього,). Виберемо осі координат аналогічно попередньому (рис.2).

0

Рис.2. Гіпербола

Маємо: , або. Спрощуючи це рівняння гіперболи, одержуємо рівняння (6).

Позначимо та одержимо канонічне рівняння гіперболи:

. (8)

Зауважимо, що – осі симетрії гіперболи. Вісь симетрії гіперболи, на якій знаходяться її фокуси, називаютьсяфокальною віссю. Центр симетрії (т. О) називається центром гіперболи. Гіпербола (8) має дві вершини (вісь не перетинає гіперболу). Фокальну вісь гіперболи називають їїдійсною віссю. Величини називаються дійсною та уявною осями гіперболи. Можна довести, що гіпербола (8) має асимптоти– прямі, відстані від точок відповідної вітки гіперболи до яких необмежено зменшуються при необмеженому збільшенні. Пригіпербола називається рівносторонньою.

в) Парабола – це геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).

Нехай вісь – це пряма, що проходить через фокусперпендикулярно до директриси; вісьнаправлена від директриси до фокуса. Початок системи координат розмістимо посередині між фокусом та директрисою (рис.3). Відстань від фокуса до директриси позначимор.

0

Рис.3. Парабола

Оскільки , то. Спрощуючи, одержуємо канонічне рівняння параболи:. Парабола має вісь симетрії, вершину (т. О); при.

Підкреслимо, що і еліпс, і гіпербола, і парабола у декартовій системі координат можуть бути представлені рівняннями другого степеня.