4. Рівняння площини у відрізках на осях

Припустимо, що площина (4) не проходить через початок координат і перетинає всі координатні осі (таким, чином, всі коефіцієнти рівняння (4) відмінні від нуля).

Нехай відомі величини відрізків , які відтинаються на осях(рис.2).

0

Рис.2. Площина

Враховуючи, що точки лежать на площині, одержуємо систему рівнянь для визначення:

Звідси маємо: .

Представимо знайдені вирази в рівняння (4):

.

Скоротивши на , одержуємо

,або

Це – так зване рівняння площини у відрізках на осях.

5. Рівняння площини, яка проходить через дану точку; через дані три точки.

а) Складемо рівняння площини, яка проходить через задану точку . Точказадана радіус-вектором. Візьмемо деякий векторі проведемо через точкуплощину перпендикулярно до цього вектора. Нехай– будь-яка точка цієї площини.

Оскільки , то, або

.

Нами одержано векторне рівняння площини. Запишемо його у координатній формі, враховуючи, що :

.

Наприклад, рівняння площини, яка проходить через точку , має вигляд

.

б) Складемо рівняння площини, яка проходить через три задані точки, що не лежать на одній прямій і характеризуються відповідно радіус-векторами та(рис.3). Нехай– довільна точка цієї площини; їй відповідає радіус-вектор. Помічаючи, що векторикомпланарні, прирівняємо до нуля їх мішаний добуток:

Одержано шукане рівняння у векторній формі. В координатній формі це рівняння маєвигляд:

.

Рис.3. Площина, яка проходить через точки

6. Кут між двома площинами

Кутом між двома площинами таназивається будь-який із двох суміжних двогранних кутів між ними. Один із цих кутів дорівнює кутові між перпендикулярами до площині. Цей кут можна знайти за допомогою формули

Зауважимо, що коли дві площини перпендикулярні, то кут між їх нормалями також дорівнює . Отже,умова перпендикулярності площин така:

Дві площини паралельні, якщо , тобто якщо.

Виключаючи , одержуємоумову паралельності площин:

7. Віддаль від точки до площини

Відхиленням точки від площини називається число , яке дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину, взятій із знаком “+”, якщо точка і початок координат лежать по різні сторони від даної площини, і із знаком “–“, якщо вони лежать по одну сторону від площини (для точок площини відхилення дорівнює нулю.Довжина перпендикуляра від точки до площини дорівнює модулю відхилення.

Нехай точки задана радіус-вектором, а площина – нормальним рівнянням. (рис.4)

0

Рис.4. Віддаль від точки до площини

Знайдемо довжину перпендикуляра . Зауважимо, щота, тобто. Оскільки точкалежить на площині, її координати задовольняють рівнянню площини. Отже, маємо:, або, звідки одержуємо:

Це – рівняння у векторній формі. перейдемо до скалярного рівняння:

Маємо правило: щоб знайти відхилення точки від площини, потрібно в ліву частину нормального рівняння площини підставити замість ікоординатитаточки. Для обчисленнявіддалі точки від площини слід взяти абсолютну величину одержаного відхилення.