5. Вигнуті та увігнуті криві

Нехай – однозначна диференційовна функція.

Говорять, що крива вигнута вгору на інтервалі (), якщо всі її точки лежать нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Криву називаютьвгнутою вниз на інтервалі , якщо всі точки цієї кривої лежать вище будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Точка, яка відокремлює вигнуту частину неперервної кривої від увігнутої, називаєтьсяточкою перегину кривої.

Має місце

Теорема 5. Якщо у всіх точках інтервалу () друга похідна, то кривана цьому інтервалі вигнута вгору.

Якщо ж у всіх точках інтервалу () друга похідна, то кривана цьому інтервалі вигнута вниз.

Якщо абоне існує, причому при переході через значенняпохідназмінює знак, то точка кривоїє точкою перегину.

6. Вертикальні та похилі асимптоти

Вертикальні та похилі асимптоти дозволяють уточнити уявлення про поведінку функції .

Пряма називається асимптотою кривої, якщо віддаль від змінної точки кривої до цієї прямої при прямуванні точкив безмежність прямує до нуля (точкапрямує в безмежність, якщо її віддаль від початку координат необмежено зростає).

Крива може перетинати асимптоту чи не перетинати її .

Розрізняють вертикальні і похилі асимптоти. Нехай функція має похилу асимптоту. Можна довести, щоіслід визначати за допомогою формул:

, ,

окремо розглядаючи випадки, коли і. Якщо хоча б одна з цих границь не існує або нескінчена, то крива не має похилої асимптоти.

Покажемо, що гіпербола має асимптоти. Для цього достатньо довести, що привітка гіперболинеобмежено наближається до прямої. Маємо:

;

.

(через ми позначили параметр в асимптоти, щоб не змішувати його з параметромв гіперболи). Отже, поставлена задача розв’язана.

7. Застосування похідної в економіці

У практиці економічних досліджень широке застосування одержали виробничі функції, які використовуються для виявлення залежностей випуску продукції від витрат ресурсів, при прогнозуванні розвитку галузей, при розв’язуванні оптимізаційних задач. Наприклад, якщо виробнича функція встановлює залежність випуску продукціївід витрат ресурсу, тоназиваютьграничним продуктом; якщо ж встановлює залежність витрат виробництвавід об’єму продукції, тоназиваютьграничними витратами.

Для вивчення відносної зміни приросту функції при малих відносних змінах приросту аргументувикористовуютькоефіцієнт еластичності функції (або еластичність).

Нехай задана функція , аі– прирости незалежної і залежної змінної, причому. Відносний приріст залежної змінної – це вираз виду. Відношення відносно приросту функції до відносного приросту незалежної змінноїпоказує, у скільки разів відносний приріст функції більший за відносний приріст незалежної змінної. Представимо його у формі:

.

Якщо функція диференційована, то.

Границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту незалежної змінної, коли, називаєтьсяеластичністю функції відносно змінної .

Еластичність функції позначимо символом:

.

Еластичність функції допускає таку економічну інтерпретацію: еластичність функції – це наближений процентний приріст функції, що відповідає приросту незалежної змінної на 1%.

Наприклад. Розрахувати еластичність функції .

Розв'язування. Згідно з означенням, маємо:

.

Якщо, наприклад, , то еластичність функції дорівнює. Отже, якщозростає на 1%, тозростає на.

Коефіцієнт еластичності широко використовують в дослідженнях, пов’язаних з вивченням попиту на товари, в залежності від цін товарів або прибутків споживачів. Високий коефіцієнт еластичності означає невисокий рівень задоволення потреб споживачів.

Розглянемо еластичність попиту відносно ціни, якщо відома функціональна залежність попитом та ціною:

.

Функція вказує, на скільки процентів зміниться попит, якщо ціна зросте на 1%. Як правило,, оскільки із збільшенням ціни продукції попит на неї падає.

Щоб не було від’ємних чисел, можна домовитися, що .

Якщо , то підвищення ціни на 1% відповідає зниженню попиту більше, ніж на 1%. У цьому випадку говорять, що попителастичний.

Якщо , то підвищення ціни на 1% відповідає зниженню попиту рівно на 1%. У цьому випадку, говорять, що попитнейтральний.

Якщо , то підвищення ціни на 1% відповідає зниженню попиту менше, ніж на 1%. У цьому випадку говорять, що попитнееластичний.

Наприклад. Функція попиту має вигляд . Розрахувати еластичність.

Розв'язування. Згідно з означенням еластичності маємо:

.

Якщо, наприклад, ціна за одиницю продукції дорівнює 4, то . Це означає, що попит є нейтральним. Примаємо:. Це означає, що попит є еластичним. При ціні 5 грн. її збільшення на 1% приведе до зниження попиту на.

Аналогічно розраховують еластичність попиту відносно доходу споживачів. У цьому випадку використовують функцію , де– дохід. Згідно з означенням, маємо:

.

Еластичність попиту відносно доходу є міра реакції попиту на зміну доходу споживачів.

В практиці економічних досліджень часто використовується виробнича функція Кобба-Дугласа, яка пов’язує випуск величиною виробничих фондівта витратами живої праці:, деі– сталі. Таким чином,є функцією двох зміннихі. Якщо виробнича функція двох зміннихвстановлює залежність випускувід двох двох виробничих факторівта(наприклад,,), то найважливішими диференціальними характеристиками є:

1. –гранична ефективність фактора ;

2. –частковий коефіцієнт еластичності;

3. –гранична норма заміни факторів та;

4. –еластичність заміни факторів та.