3. Метод найменших квадратів

Познайомимося з методом найменших квадратів.

Припустимо, що в результаті експерименту одержані точки () (), які групуються навколо прямої(– невідомі сталі). При підстановці в цю рівністьодержуємо, яке звісно може не співпадати з. Різницяназиваєтьсянев’язкою.

Підберемо параметри прямої так, щоб сума квадратів неув’язок була мінімальною (суму неув’язок не мінімізуємо, бо вона може вийти малою при великих нев'язках різного знаку). Маємо:

–це функція двох змінних та.

Використовуємо необхідні умови існування екстремуму. Знаходимо частинні похідні таі прирівнюємо їх до нуля. Маємо:

, .

В результаті отримуємо нормальну систему рівнянь:

Розв’яжемо цю систему за формулами Крамера. Маємо:

;

; .

Отже,

; .

Наприклад. Нехай – стаж роботи за спеціальністю робітника деякого цеху, а– процент перевиконання планового завдання (Таблиця 1).

Таблиця 1

(років)	1,5	1,7	1,8	1,9	2,3	2,4	2,5	2,6	2,9
(%)	1,4	1,8	1,7	1,9	2,3	2,3	2,5	2,4	2,8

Методом найменших квадратів знайдемо емпіричну залежність .

Розв'язування.

Система рівнянь для визначення іу даному випадку набуває вигляду

.

Розв’язавши цю систему, знаходимо: ;. Отже, шукана емпірична формула має вигляд

.