3. Зміст семінарських занять

Змістовий модуль 1

Лінійна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ в математичний аналіз

Семінарське заняття 1

Тема 1. Вектори. Матриці. Визначники

Питання для усного опитування та дискусії

1.1. Скалярні, векторні величини. Основні операції над векторами.

1.2. Визначники, їх властивості.

1.3. Матриці, дії з ними.

1.4. Поняття про модель Леонтьєва.

Аудиторна письмова робота

Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.

Методичні вказівки

Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є : скаляр, вектор, скалярний добуток, визначник, порядок визначника, матриця, додавання матриць, множення матриці на число, добуток матриць, одинична матриця, невироджена матриця, мінор, алгебраїчне доповнення, обернена матриця, математична модель, модель Леонтьєва.

З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.

1. Вектори (основні поняття)

Скалярні величини повністю характеризуються своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць (наприклад, час, температура та ін.).

Векторні величини, крім того, мають напрямок у просторі (наприклад, сила, швидкість та ін.). Векторну величину (вектор) можна зобразити відрізком у просторі (умовившись про одиницю масштабу). Цей відрізок орієнтований (вказано його початок і кінець); орієнтація позначається стрілкою. Модуль (довжина) вектора – це скаляр. Вектор позначають так: , а його модуль – так:.

Отже, задати вектор – це задати його модуль і напрямок у просторі.

Два вектора рівні, якщо вони мають однаковий модуль, паралельні та направлені в одну й ту ж саму сторону.

2. Лінійні операції з векторами

Лінійні операції з векторами – це додавання, віднімання векторів та множення вектора на скаляр (число).

а) Додавання двох векторів визначається за правилом паралелограма: якщо потрібно додати вектори і , їх відносять до спільного початку, будують на них паралелограм; діагональ цього паралелограма, яка виходить з того ж самого початку, і дає суму .

Рис.1. Сума векторів . (Правило паралелограма)

Із означення випливає, що (комутативність).

Оскільки , маємо:. Звідси випливаєправило трикутника додавання векторів: до кінця одного вектора приставити початок другого; тоді сумою служитиме вектор, що йде від початку першого в кінець другого (рис.2).

Рис. 2. Правило трикутника додавання векторів

При додаванні кількох векторів користуються правилом многокутника, проілюстрованим на рис. 3.

Рис.3. Правило многокутника

За допомогою рис. 3 легко переконатися, що має місце асоціативний закон додавання векторів: .

б) Вектор, кінець якого співпадає з його початком, називається нуль-вектором; його модуль дорівнює нулю, а напрямок невизначений; .

Якщо дано вектор , то векторназиваєтьсяпротилежним вектором до вектора і позначається –;.

Відняти який-небудь вектор – це значить додати протилежний до нього вектор. Геометрично правило утворення різниці показано на рис.4.

Рис.4. Різниця векторів

в) Добуток вектора на склярвизначається так: прице – вектор, направлений так само, як, модуль якого дорівнює; при– вектор, направлений, як, модуль якого дорівнюєприце нуль-вектор.

Із наведених означень випливають такі властивості:

1) ;	6) ;
2) ;	7) ;
3) ;	8) ;
4) ;	((к-ть раз) – ціле число,>0).
5) ;