3. Монотонність функції

Функція називається зростаючою в інтервалі, якщо більшим значенням відповідають більші значення функції і спадною, якщо більшим значеннямаргументу відповідають менші значення функції.

Інтервал незалежної змінної, в якому функція зростає, називається інтервалом зростання функції, а інтервал, в якому функція спадає, – інтервалом спадання. Інтервали зростання і спадання називають інтервалами монотонності функції, а функцію в цьому інтервалі – монотонною функцією.

Якщо функція диференційована, то досліджувати її на зростання і спадання можна за допомогою похідної.

Має місце така

Теорема 1. (Про монотонність функції). Якщо функція , яка має похідну на проміжку, зростає на цьому відрізку, то її перша похідна похідна невід’ємна на цьому проміжку.

Якщо функція неперервна на відрізку, диференційована в проміжку, причомупри, то функціязростає на.

Аналогічно формулюється теорема про спадання функції: Якщо функція зростає, то дотична в будь-якій її точці утворює гострий кут з віссю, ф якщо спадає – тупий (придотична паралельна осі).

Наприклад. Число людей, які під час епідемії захворіють, дорівнює ; воно прогнозується функцією часу(числа днів з початку спостережень):

.

Визначити, протягом якого часу з моменту початку спостереження кількість хворих зростатиме.

Розв'язок. Визначимо :. Звідси визначаємо, що примонотонно зростає (оскількипри, а при).

4.Дослідження на екстремум

Говорять, що функція в точцімаємаксимум, якщо її значення більше, ніж значення у всіх точках деякого інтервалу, що містить точку:

,

які б не були знаки (чи).

Функція маємінімум при , якщо, яке б не було(чи). Підкреслимо, що максимальне чи мінімальне значення функції можуть досягатися тільки у внутрішніх точках відрізка. Найменше і найбільше значення функції може досягатися не тільки в точках екстремума (максимума чи мінімума), але і на кінцях відрізка .

Має місце така

Теорема 2 (необхідна умова існування екстремуму).

Якщо диференційовна функція має в точцімаксимум або мінімум, то її похідна перетворюється в нуль в цій точці, тобто.

Геометрично це означає, що в точках екстремума дотична до графіка функції паралельна осі .

Отже, якщо функція диференційована, то вона може мати екстремуми тільки при тих значеннях аргументу, при яких похідна перетворюється в нуль.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне: якщо , то не обов’язково в цій точціфункція досягнена максимума чи мінімума. Так, наприклад, кубічна параболане має екстремального значення при, хоча необхідна умова існування екстремума у цій точці виконується.

Якщо ж функція не диференційовна в деяких точках, то в них може бути екстремум, а може і не бути.

Наприклад, функція прине диференційовна. В цій точці вона має мінімум.

Ті значення аргументу, при яких похідна перетворюється в нуль або терпить розрив, називаються критичними точками (або критичними значеннями). Ці точки є “підозрілими” на екстремум.

Сформулюємо достатні умови існування екстремума.

Теорема 3 (достатні умови існування екстремума з використанням першої похідної).

Нехай функція неперервна в деякому інтервалі, що містить критичну точку, і диференційовна у всіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки). Якщо при переході зліва на право через цю точку похіднаміняє знак з “+” на “–”, то прифункція має максимум. Якщо ж при переході зліва направо через точкупохідна міняє знак з “–” на “+”, то функція має в цій точці мінімум.

Нехай при . Нехай, крім того,існує та неперервна в деякому околі точки. Тоді, функціюможна досліджувати на екстремум за допомогою другої похідної.

Теорема 4 (другі достатні умови існування екстремума – з використанням другої похідної).

Нехай при , причомуіснує та неперервна в деякому околі точки. Тоді прифункція має максимум, якщо, і мінімум, якщо.

Наприклад №1. Дохід фірми залежить від попитуна продукцію згідно з формулою:

.

Визначити максимальний дохід фірми.

Розв'язок. Обчислимо першу похідну функції та порівняємо її до нуля:

при .

Знайдемо :

.

За допомогою другої похідної переконуємося, що придосягає максимального значення – 37880000 грошових одиниць.