
- •Методичні рекомендації
- •1. Опис навчальної дисципліни
- •2. Структура навчальної дисципліни
- •3. Зміст семінарських занять
- •1. Вектори (основні поняття)
- •2. Лінійні операції з векторами
- •Із означення випливає, що (комутативність).
- •3. Лінійна залежність векторів
- •4. Скалярний добуток векторів
- •Визначники другого порядку
- •Визначники третього порядку
- •Основні властивості визначників
- •Матриці та дії з ними
- •Семінарське заняття 2
- •2. Метод Гаусса
- •3. Розв’язування систем матричним методом
- •4. Ранг матриці та способи його обчислення
- •5. Теорема Кронекера-Капеллі
- •Семінарське заняття 3
- •Тема 3. Пряма, площина. Тема 4. Криві та поверхні другого порядку
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Пряма, площина
- •1. Різні види рівнянь прямої лінії
- •2. Нормальне рівняння площини
- •3. Загальне рівняння площини
- •4. Рівняння площини у відрізках на осях
- •5. Рівняння площини, яка проходить через дану точку; через дані три точки.
- •6. Кут між двома площинами
- •7. Віддаль від точки до площини
- •8. Пряма лінія у просторі (векторне рівняння; параметричні та канонічні рівняння; пряма як лінія перетину площин)
- •9. Кут між прямими
- •10. Кут між прямою і площиною
- •11. Перетин прямої з площиною
- •Лінії другого порядку
- •Поняття про полярну систему координат
- •Поверхні та їх класифікація
- •2. Поверхні обертання
- •3. Поверхні другого порядку
- •Семінарське заняття 4
- •2. Функція двох змінних
- •3. Нескінченно малі та нескінченно великі величини
- •4. Границя послідовності
- •5. Границя функції
- •Семінарське заняття 5
- •Тема 6. Неперервність функції. Точки розриву
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 6
- •Тема 7. Похідна. Диференціал
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Похідна, її фізичний, геометричний та економічний зміст
- •2. Диференційовність та неперервність функцій
- •6. Диференціал та його геометричне значення
- •7. Похідні та диференціали вищих порядків
- •8. Формула Тейлора
- •9. Частинні похідні та диференціали функції двох змінних
- •10. Похідна по напряму. Градієнт функції
- •Похідною функції в напрямку (де – точка, що лежить на промені ) називається , деі– значення функції в точкахі. Якщо функція– диференційовна, то має місце формула:
- •Наприклад. Знайти похідну функції в точців напрямку, що утворює з віссюкут в. Розв’язок. Визначимо частинні похідні іта обчислимо їх значення в точці:. Враховуючи, що,
- •11. Диференціювання складних функцій
- •12. Геометричні застосування диференціального числення функції двох змінних
- •13. Похідні і диференціали вищих порядків
- •Семінарське заняття 7
- •2. Правило Лопіталя
- •3. Монотонність функції
- •4.Дослідження на екстремум
- •5. Вигнуті та увігнуті криві
- •6. Вертикальні та похилі асимптоти
- •7. Застосування похідної в економіці
- •Семінарське заняття 8
- •Умовний екстремум
- •3. Метод найменших квадратів
- •Таблиця 1
4. Рівняння площини у відрізках на осях
Припустимо, що площина (4) не проходить через початок координат і перетинає всі координатні осі (таким, чином, всі коефіцієнти рівняння (4) відмінні від нуля).
Нехай
відомі величини відрізків
,
які відтинаються на осях
(рис.2).
0
Рис.2.
Площина
Враховуючи,
що точки
лежать на площині, одержуємо систему
рівнянь для визначення
:
Звідси
маємо:
.
Представимо знайдені вирази в рівняння (4):
.
Скоротивши
на
,
одержуємо
,або
Це – так зване рівняння площини у відрізках на осях.
5. Рівняння площини, яка проходить через дану точку; через дані три точки.
а)
Складемо рівняння площини, яка проходить
через задану точку
.
Точка
задана радіус-вектором
.
Візьмемо деякий вектор
і проведемо через точку
площину перпендикулярно до цього
вектора. Нехай
– будь-яка точка цієї площини.
Оскільки
,
то
,
або
.
Нами
одержано векторне
рівняння площини.
Запишемо його у координатній
формі,
враховуючи, що
:
.
Наприклад,
рівняння площини, яка проходить через
точку
,
має вигляд
.
б)
Складемо рівняння площини, яка проходить
через три задані точки, що не лежать на
одній прямій і характеризуються
відповідно радіус-векторами
та
(рис.3). Нехай
– довільна точка цієї площини; їй
відповідає радіус-вектор
.
Помічаючи, що вектори
компланарні, прирівняємо до нуля їх
мішаний добуток:
Одержано шукане рівняння у векторній формі. В координатній формі це рівняння маєвигляд:
.
Рис.3.
Площина, яка проходить через точки
6. Кут між двома площинами
Кутом
між двома площинами
та
називається будь-який із двох суміжних
двогранних кутів між ними. Один із цих
кутів дорівнює кутові між перпендикулярами
до площин
і
.
Цей кут можна знайти за допомогою формули
Зауважимо,
що коли дві площини перпендикулярні,
то кут між їх нормалями також дорівнює
.
Отже,умова
перпендикулярності площин
така:
Дві
площини паралельні, якщо
,
тобто якщо
.
Виключаючи
,
одержуємоумову
паралельності площин:
7. Віддаль від точки до площини
Відхиленням
точки від площини називається число
,
яке дорівнює довжині перпендикуляра,
опущеного з цієї точки на площину, взятій
із знаком “+”, якщо точка і початок
координат лежать по різні сторони від
даної площини, і із знаком “–“, якщо
вони лежать по одну сторону від площини
(для точок площини відхилення дорівнює
нулю.Довжина
перпендикуляра від точки до площини
дорівнює модулю відхилення.
Нехай
точки
задана радіус-вектором
,
а площина – нормальним рівнянням
.
(рис.4)
0
Рис.4. Віддаль від точки до площини
Знайдемо
довжину перпендикуляра
.
Зауважимо, що
та
,
тобто
.
Оскільки точка
лежить на площині, її координати
задовольняють рівнянню площини
.
Отже, маємо:
,
або
,
звідки одержуємо:
Це – рівняння у векторній формі. перейдемо до скалярного рівняння:
Маємо
правило:
щоб знайти відхилення
точки від площини, потрібно в ліву
частину нормального рівняння площини
підставити замість
і
координати
та
точки
.
Для обчисленнявіддалі
точки від площини слід взяти абсолютну
величину одержаного відхилення.