Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

§1.6. Вектори

1.6.1. Теоретичні відомості

Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.

Два вектора називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.

Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той

самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора a називається

абсолютною величиною або модулем вектора і позначається a .

Вектор називається нульовим (нуль,вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.

Щоб знайти суму двох векторів a і b , сумістимо початок векто+

ра b з кінцем вектора a .

Сумою a + b векторів a та b називається вектор, початок

якого збігається з початком вектора a , а кінець – з кінцем вектора

b (рис. 1.1).

Для додавання векторів мають місце такі закони: 1) переставний (комутативний)

a + b = b + a ;

5 0

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

2) сполучний

(a + b ) + c = a + ( b + c );

3)для кожного вектора a існує протилежний (– a ), такий, що

a + (– a ) = 0 ;

4) a + 0 = a ;

5) для будь+яких двох векторів a і b виконуються нерівності:

| a + b | | a | + | b | , | a – b | | a | + | b | .

Якщо вектор a утворює кут з віссю ОХ (рис. 1.2), то проек,

a = {ах, ау, аz}.

Якщо вектор b = {bх, bу, bz}, то проекція суми векторів

a + b = {ах+bх, ау+bу, аz+bz}.

Добутком вектора a на число називається вектор a , дов+

жина якого дорівнює | a | = | || a |. Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності, тобто для довільних

чисел , та векторів a і b справедливі рівності:

5 1

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Приклад 1.73. Дано два вектори: а = {2; –1; 3} та b = {3; 4; 5}.

Знайти вектор 2 a – b .

Розв’язок. 2 a – b = {2 2 – 3; 2(–1) – 4; 2 3 – 5} = {1; –6; 1}.

Ознакою колінеарності двох векторів a та b є пропорційність їх координат:

Скалярним добутком двох векторів a і b називається число

a b , яке дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:

Скалярний добуток можна записати у такому вигляді: a b = | a | b = | b | npb a .

5 2

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Якщо вектори a та b задані своїми координатами, то їх скаляр+ ний добуток обчислюється за формулою:

Серед властивостей скалярного добутку відмітимо як більш ужи+ вані такі:

1)a b = b a ;

2)a ( b + c ) = a b + a c ;

3)a b = ( a b ) = a b .

Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор c = a b , який має такі властивості:

1) довжина вектора c дорівнює добутку довжин співмножників на синус кута між ними: | c | = | a | | b | sin ;

Зауважимо, що [ a b ] = –[ a b ], а модуль векторного добутку

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a та b , якщо вони віднесені до спільного початку.

5 3

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

Укоординатній формі векторний добуток векторів a = {ах, ау, аz}

іb = {bх, bу, bz} можна записати у вигляді:

Мішаним або скалярно,векторним добутком трьох векторів a , b , c називається векторний добуток векторів a і b , скалярно

помножений на вектор c , тобто [ a b ] c .

Якщо вектори a , b , c — компланарні, тобто розташовані в одній площині або на паралельних площинах, то їх мішаний добуток дорів+ нює нулю.

Якщо відомі координати співмножників a = {ах, ау, аz}, b = {bх, bу, bz}, c = {сх, су, сz}, то мішаний добуток обчислюється за формулою:

Якщо три ненульових вектора a , b , c розташовані в одній пло+

щині (компланарні), то їх мішаний добуток [ a b ] c = 0.

Отже, в координатній формі умова компланарності трьох нену+

5 4

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

1.6.2. Розв’язання прикладів

Приклад 1.74. Задано координати точок М1(3; 2; 1), М2(–1; 0; 2), М3(–2; –1; 0), та М4(5; 7; 3). Знайти:

1) вектор a , якщо a = 2 M1M2 – 3 M3 M4 ;

2)кут між векторами M1M2 та M3 M4 ;

3)координати вектора b = M1M2 M3 M4 ;

4)об’єм піраміди з вершинами в точках М1, М2, М3, М4.

Розв’язок.

1)За формулою (1.14) знаходимо

M1M2 = {x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1} = {–1–3; 0–2; 2–(–1)} = {–4; –2; 3},

2 M1M2 = {–8; –4; 6},

M3 M4 = {5–(–2); 7–(–1); 3–0} = {7; 8; 3},

–3 M3 M4 = {–21; –24; –9}.

Тоді a = 2 M1M2 – 3 M3 M4 = {–8–21; –4–24; 6–9} = {–29; –28; –9}.

2) Косинус кута між векторами M1M2 та M3 M4 обчислимо за формулою (1.20):

Оскільки косинус кута від’ємний, то кут тупий.

3) Координати векторного добутку знаходимо за формулою (1.22):

5 5

Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»

= i (–6 – 24) – j (–12 –21) + k (–32 + 14) =

= –30 i + 33 j – 18 k = {–30; 33; –18}.

4) Щоб знайти об’єм піраміди, знайдемо спочатку мішаний добу+ ток векторів, що виходять з однієї вершини піраміди:

M1M2 = {–4; –2; 3}, M1M3 = {–5; –3; 1}, M1M4 = {4; 5; 4}. Тоді об’єм піраміди

1.6.3. Завдання для самостійної роботи

1.75. Заданими векторами a і b побудувати вектори: 1) 3 a ;

1

2) 2 a + 3 b .

1.76. Дано | a | = 13; | b | = 19; | a + b | = 24. Обчислити | a – b |.

1.77.Дано точки А(3; –1; 2) і В(–1; 2; 1). Знайти координати век+ торів AB і BA .

1.78.Дано вектори a = {2; 2; 1}, b = {6; 3; 2}. Знайти npa b , npb a .

1.79.Знайти кут між векторами a = i + 2 j + 3k , b = 6i + 4 j – 2k .

1.80.Знайти одиничний вектор того самого напрямку, що й век+

тор a = i + 2 j + 2 k .

1.81. Вектори a і b взаємно перпендикулярні, причому | a | = 5 і

|b | = 12. Знайти | a + b | і | a – b |.

1.82.Довести, що вектор p = b ( a c ) – c ( a b ) перпендикуляр+

ний до вектора a .

5 6

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

1.83. Дано вектори a = 3 i – 6 j – k , b = i + 4 j – 5 k , c =

=3 i – 4 j + 2 k . Обчислити npc ( a + b ).

1.84.Вектор x , компланарний вектору a = (6; –8; –7,5), утво+

рює з віссю Oz гострий кут. Знаючи, що x = 50, знайти його коор+ динати.

1.85. Знайти довжину вектора a = 20 i + 30 j – 60 k і його на+

прямні косинуси.

1.86. Дано вершини трикутника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1) і С(1; –2; 1). Знайти його зовнішній кут при вершині А.

1.87. Вектори a і b утворюють кут = 23$ ; знаючи що

| a | = 3, | b | = 4, обчислити: 1) (3 a – 2 b )( a + 2 b ); 2) ( a – b )2. 1.88. Дано точки А(–1; 5; –10), В(5; –7; 8), С(2; 2; –7), D(3; –2; 6).

Перевірити, що вектори AB і CD колінеарні. Знайти який з них довший і у скільки разів, як вони напрямлені — в один чи в проти+ лежні боки.

1.89. Знайти об’єм V тетраедра з вершинами А(1; 2; 3), В(4; 4; 4), С(2; 6; 4), D(2; 3; 6).

5 7