4. Спектральный анализ периодических и непериодических сигналов.

Наряду с временным представлением сигнала (в виде функции времени) одним из широко распространенных является спектральное представление. Оно основано на том, что любой сигнал s(t) можно представить в виде суммы s(t)=c_iu_i(t) <i=0..>, т.е. разложить в ряд, при этом система функций {u₀(t),u₁(t),…} называется базисом разложения, а c_i – коэффициентами разложения. При этом базис должен быть ортонормированным, т.е. любые две разные входящие в него функции должны быть ортогональны ([u_i(t)u_k(t)dt]=0 при ik), а их нормы должны быть равны единице (||u_i||=[u_i²(t)dt]=1). Коэффициенты c_i находятся как скалярное произведение сигнала s(t) на базисную функцию u_i(t): c_i=(s, u_i)=[s(t)u_i(t)]dt, <t=-..>.

Существует множество разнообразных базисов для представления сигналов, однако исключительное место среди них занимают гармонические сигналы. Это обусловлено многими причинами, основными из которых являются инвариантность их относительно стационарных линейных электрических цепей (при прохождении через такую цепь изменяются только амплитуда и начальная сигнала; форма же его и частота остаются неизменными), а также относительно простая техника генерации гармонических сигналов.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала, а совокупность отдельных гармонических компонент сигнала называют спектром.

Периодический сигнал математически задается периодической функцией s(t)=s(tnT), n=1,2,…, где T-период сигнала. Ортонормированный базис из гармонических функций на отрезке t[-T/2;T/2] записывается в виде u₀(t)=1/T, u₁(t)=(2/T)sin(2t/T), u₂(t)= (2/T)cos(2t/T), u₃(t)=(2/T)sin(4t/T), u₄(t)= (2/T)cos(4t/T), … Любая функция этого базиса периодична с периодом Т; следовательно, разложив сигнал s(t) в виде суммы s(t)=c_mu_m(t), <m=0..>, получим соотношение, справедливое для любого t. Ряд Фурье для произвольного периодического сигнала принято записывать в виде s(t)=a₀/2+[a_ncos(n₁t)+b_nsin(n₁t)] <n=1..> с коэффициентами: a₀=(2/T)[s(t)dt], a_n=(2/T) [s(t)cos(n₁t)dt], b_n=(2/T) [s(t)sin(n₁t)dt], <t=-T/2..Т/2> где ₁=2/T – основная частота. Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний (гармоник) с частотами, кратными основной.

Иногда ряд Фурье записывают в другом виде, представляя отдельные гармоники амплитудами A_n=[a_n²+b_n²] и начальными фазами _n, tg(_n)=b_n/a_n: s(t)=a₀/2+[A_ncos(n₁t-_n)], <n=-..>. Графическое представление ряда Фурье, при котором по горизонтальной оси отложены частоты или номера гармоник, а по вертикальной – их амплитуды или начальные фазы, называют соответственно амплитудной или фазовой спектральной диаграммами. Особый интерес представляет амплитудная диаграмма, позволяющая судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре сигнала.

Рис – амплитудные спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов при малой (справа) и большой (слева) скважности.

При представлении ряда Фурье в комплексной форме используют следующую систему базисных функций: u_k(t)=(1/T)exp(jk₁t), k=0, 1, 2, … Данная система аналогична базису из гармонических функций, поскольку exp(jx)=cos(x)+jsin(x). В комплексной форме ряд Фурье принято записывать в виде s(t)=C_nexp(jn₁t) <n=-..>, где коэффициенты ряда C_n=(1/T)s(t)exp(-jn₁t) <t=-T/2..T/2>. Коэффициенты ряда – комплексные числа, модуль которых соответствует амплитуде соответствующей гармоники, а аргумент – начальной фазе. При представлении ряда Фурье в комплексной форме возникает чисто математическое понятие отрицательной частоты, соответствующее вращению вектора гармоники по часовой стрелке (при положительной – против). Нетрудно видеть, что гармоники с одинаковыми положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, в которых при сложении мнимые части уничтожаются, а оставшаяся действительная часть представляет собой действительное временнОе описание соответствующей гармоники: C_nexp(jn₁t)+C_-nexp(-jn₁t)=2|С_т|cos(n₁t+_n).

Метод рядов Фурье позволяет обобщить понятие спектра для непериодических сигналов. Для этого в комплексной форме ряда Фурье необходимо устремить период T->. В этом случае основная частота ₁ стремится к нулю, а расстояние между соседними гармониками становится столь малым, что дискретную частоту n₁ можно заменить непрерывной , и вместо операции суммирования применить интегрирование. Амплитуда отдельных гармоник при этом неограниченно уменьшается, поэтому для характеристики спектра в этом случае используют отношение амплитуды всех гармоник в каком-либо малом интервале  (суммируя их в положительной и отрицательной областях), считая их постоянными по амплитуде и фазе в пределах , к этому интервалу. Полученная функция называется спектральной плотностью: S()=[s(t)exp(-jt)dt], t=<-..>, а формулу вычисления S() называют преобразованием Фурье. Физический смысл спектральной плотности следует из ее определения: S()=S(2f) есть коэффициент пропорциональности между длиной некоторого малого интервала частот f и соответствующей ему комплексной амплитудой A гармонической составляющей частотой f: A=2S()f (2 означает, что складываются положительные и отрицательные составляющие спектра).

Аналогичным образом решая обратную задачу нахождения временнОго представления сигнала по его спектральной плотности, получим соотношение s(t)=(1/2)[S()exp(jt)d], <=-..>, называемое обратным преобразованием Фурье.

Если сигналу s(t) соответствует спектральная плотность S() (или наоборот), то записывают s(t)  S().

В общем случае условием существования спектральной плотности сигнала является его абсолютная интегрируемость, т.е. |s(t)|dt < , <t=-..>. Это значительно сужает класс допустимых сигналов, однако в математике разработаны методы спектральнго представления неинтегрируемых сигналов при помощи обобщенных функций (дельта-функций), а также методы преставления случайных сигналов при помощи энергетического спектра.

Основными свойствами преобразования Фурье являются (в принципе, в вопросе этого нет, но…)

линейность (если есть некоторый набор сигналов s_i(t), и s_i(t)  S_i(), то a_is_i(t)  a_iS_i(), где a_i – некоторый коэффициенты,

для вещественной A() и мнимой jB() части S()=A()+jB() справедливы соотношения A()=A(-), B()=-B(-), т.е. A() – четная, а B() –нечетная функция,

при смещении сигнала на время t₀ в спектральной плотности наблюдается поворот фаз на jt₀: если s(t)  S(), то s(t-t₀)  S()exp(-jt₀),

при изменении сжатии (расширении) масштаба времени спектр расширяется (сжимается): если s(t)  S(), то s(kt)  (1/k)S(/k),

при дифференцировании сигнала его спектральная плотность домножается на j: если s(t)  S(), то ds(t)/dt  (j)S(); интегрирование сигнала приводит к домножению спектральной плотности на множитель 1/(j): s(t)dt  S()/(j),

спектральная плотность произведения сигналов определяется как свертка спектральных плотностей исходных сигналов: если u(t)  U() и v(t)  V(), то u(t)v(t)(1/2)[V(’)U(-’)d’] <’=-..>. Справедливо и обратное: U()V()[u(t-t’)v(t’)dt’] <t’=-..>

скалярное произведение сигналов пропорционально скалярному произведению их спектров (формула Рэлея): если u(t)  U() и v(t)  V(), то (u,v)  (1/2)(U,V).