Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_2012отредактировал.docx
Скачиваний:
126
Добавлен:
22.02.2016
Размер:
11.51 Mб
Скачать
  1. Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема в. А. Котельникова. Методы интерполяции.

Достоинства цифровых систем передачи обеспечивают их широкое распространение. При преобразовании сигналов в них (в ЦСП) возникает необходимость представлять исходный непрерывный сигнал в виде последовательности выборок, т.е. значения сигнала становятся известны не непрерывно на протяжении временной оси, а только в определенные моменты времени. Эти значения называются выборками, а моменты времени, в которые они взяты – точками опроса. Интервал времени между выборками – период опроса (дискретизации); если он постоянен – регулярная дискретизация, иначе – нерегулярная. Математически выборки могут быть представлены при помощи дельта-функций (t­k), площадь которых равна значению выборки в момент времени tk:

Многие реальные непрерывные сигналы имеют ограниченный спектр (или можно спектр ограничить без потери информационности) – т.е. спектральная плотность сигнала 0 только в пределах определенной полосы частот. Это условие является основным при представлении сигнала в виде выборок. Теорема Котельникова устанавливает возможность однозначного сколь угодно точного восстановления сигнала с ограниченным спектром исходя из выборок, взятых через равные промежутки времени. Согласно этой теореме, такой сигнал представляется в виде обобщенного ряда Фурье, называемом рядом Котельникова: s(t)=ckSk(t,В), <k=-..>, где ck – коэффициенты ряда, S(t,­B) – k-я отсчетная функция, B=2fB – верхняя частота спектра сигнала. Отсчетные функции ряда образуют ортонормированный базис (скалярные произведения любой на любую другую =0, норма - энергия - любой из них = 1),. Функции отсчета для разных k сдвинуты на временной оси на k/B (на рисунке – ф-ии для k=0 и k=1).

Коэффициенты ряда сл пропорциональны выборкам сигнала sk в моменты времени tk=k/B=k/(2fB): ck=(/B)sk. Тогда ряд Котельникова записывается в виде s(t)=sk{sin[B(t-k/B)]}/{B(t-k/B), и формулируется так: любой сигнал можно сколь угодно точно восстановить по выборкам, если 1) спектр сигнала ограничен 2)сигнал наблюдается бесконечное время 3) период дискретизации <= 1/(2fB) 4) восстановление производится по ряду Котельникова

Теорема Котельникова сформулирована для идеальных условий; поэтому точное восстановление (интерполяция) невозможно. Функции отсчета ряда Котельникова представляют собой импульсную характеристику идеального ФНЧ; следовательно, для восстановления сигнала из последовательности выборок можно использовать ФНЧ. Однако для восстановления сигнала по ряду Котельникова (показано на рис. г) для расчета значения сигнала в какой-то момент времени необходимо знать значения выборок не только до данного момента (k>=0), но и после (k<0), что в большинстве случаев невозможно. Интерполяция сигнала может выполнятся и другими способами, в т.ч. и при помощи ЭВМ, реализующей различные алгоритмы интерполяции. При этом широко используются алгебраические полиномы. В таком случае интерполируемая функция s(t)=aktk=a0+a1t+a2t2+…, <k=1..N>, где ak – коэффициенты полинома, рассчитываемые по значениям выборок, N-степень полинома. При N=0 получают ступенчатую интерполяцию (восстановление сигнала осуществляется «запоминанием» значения выборки до прихода следующей, рис. а); при N=1 – линейную (выборки соединяются прямыми линиями, рис. б), при N=2 – квадратичную (через значения выборок проводятся отрезки парабол, рис. в). При увеличении N точность интерполяции возрастает, однако функция при N-> не всегда сходится к исходному сигналу. Более точными в этом случае оказываются методы сплайновой интерполяции, основанные на условиях непрерывности производных сигнала.

Погрешностью интерполяции называется разница между исходным и восстановленным сигналом (t)=s(t)-s’(t). Поскольку эта величина является функцией времени, то погрешность интерполяции оценивается среднеквадратичной погрешностью =[2(t)dt].

При частотной методике анализа погрешности рассматривается спектр последовательности выборок, состоящий из множества «смещенных» на частоты кратные 2/T0 спектров исходного сигнала (рис. а ниже): спектральная плотность мощности последовательности выборок будет иметь вид: S*()=(1/T0)[S()+S(-k{2/T0})],

k=-.., k0, где S() – спектр исходного сигнала (заштрихован)

Интерполяция в этом случае рассматривается как выделение исходного спектра. При этом погрешность интерполяции определяется двумя составляющими: искажением полезного спектра сигнала при прохождении через интерполятор (первое слагаемое) и проникновением на выход интерполятора части смещенных составляющих спектра последовательности выборок (второе слагаемое):

2=(1/2)|1-W()|2S()d+(1/2)|W()|2SСМ()d, <=-..>, где -среднеквадратичная погрешность, W()-коэффициент передачи интерполирующего фильтра (комплексный), S() – спектральная плотность мощности полезного сигнала, SСМ() –спектральная плотность мощности смещенных составляющих.

Реальную не зависящую от энергии сигнала оценку погрешности дает относительная дисперсия погрешности: 2=2/2 (2=(1/2)S()2d, <=-..> - дисперсия сигнала). В общем случае эта величина оказывается зависимой не только от метода интерполяции (W()), но и от частоты дискретизации, а также вида самого сигнала.

Кроме вышеприведенных факторов, на погрешность интерполяции влияет искусственное ограничение спектра сигнала частотой В.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]