3. Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема в. А. Котельникова. Методы интерполяции.

Достоинства цифровых систем передачи обеспечивают их широкое распространение. При преобразовании сигналов в них (в ЦСП) возникает необходимость представлять исходный непрерывный сигнал в виде последовательности выборок, т.е. значения сигнала становятся известны не непрерывно на протяжении временной оси, а только в определенные моменты времени. Эти значения называются выборками, а моменты времени, в которые они взяты – точками опроса. Интервал времени между выборками – период опроса (дискретизации); если он постоянен – регулярная дискретизация, иначе – нерегулярная. Математически выборки могут быть представлены при помощи дельта-функций (t­_k), площадь которых равна значению выборки в момент времени t_k:

Многие реальные непрерывные сигналы имеют ограниченный спектр (или можно спектр ограничить без потери информационности) – т.е. спектральная плотность сигнала 0 только в пределах определенной полосы частот. Это условие является основным при представлении сигнала в виде выборок. Теорема Котельникова устанавливает возможность однозначного сколь угодно точного восстановления сигнала с ограниченным спектром исходя из выборок, взятых через равные промежутки времени. Согласно этой теореме, такой сигнал представляется в виде обобщенного ряда Фурье, называемом рядом Котельникова: s(t)=c_kS_k(t,_В), <k=-..>, где c_k – коэффициенты ряда, S_k­(t,­_B) – k-я отсчетная функция, _B=2f_B – верхняя частота спектра сигнала. Отсчетные функции ряда образуют ортонормированный базис (скалярные произведения любой на любую другую =0, норма - энергия - любой из них = 1),. Функции отсчета для разных k сдвинуты на временной оси на k/_B (на рисунке – ф-ии для k=0 и k=1).

Коэффициенты ряда с_л пропорциональны выборкам сигнала s_k в моменты времени t_k=k/_B=k/(2f_B): c_k=(/_B)s_k. Тогда ряд Котельникова записывается в виде s(t)=s_k{sin[_B(t-k/_B)]}/{_B(t-k/_B), и формулируется так: любой сигнал можно сколь угодно точно восстановить по выборкам, если 1) спектр сигнала ограничен 2)сигнал наблюдается бесконечное время 3) период дискретизации <= 1/(2f_B) 4) восстановление производится по ряду Котельникова

Теорема Котельникова сформулирована для идеальных условий; поэтому точное восстановление (интерполяция) невозможно. Функции отсчета ряда Котельникова представляют собой импульсную характеристику идеального ФНЧ; следовательно, для восстановления сигнала из последовательности выборок можно использовать ФНЧ. Однако для восстановления сигнала по ряду Котельникова (показано на рис. г) для расчета значения сигнала в какой-то момент времени необходимо знать значения выборок не только до данного момента (k>=0), но и после (k<0), что в большинстве случаев невозможно. Интерполяция сигнала может выполнятся и другими способами, в т.ч. и при помощи ЭВМ, реализующей различные алгоритмы интерполяции. При этом широко используются алгебраические полиномы. В таком случае интерполируемая функция s(t)=a_kt^k=a₀+a₁t+a₂t²+…, <k=1..N>, где a_k – коэффициенты полинома, рассчитываемые по значениям выборок, N-степень полинома. При N=0 получают ступенчатую интерполяцию (восстановление сигнала осуществляется «запоминанием» значения выборки до прихода следующей, рис. а); при N=1 – линейную (выборки соединяются прямыми линиями, рис. б), при N=2 – квадратичную (через значения выборок проводятся отрезки парабол, рис. в). При увеличении N точность интерполяции возрастает, однако функция при N-> не всегда сходится к исходному сигналу. Более точными в этом случае оказываются методы сплайновой интерполяции, основанные на условиях непрерывности производных сигнала.

Погрешностью интерполяции называется разница между исходным и восстановленным сигналом (t)=s(t)-s’(t). Поскольку эта величина является функцией времени, то погрешность интерполяции оценивается среднеквадратичной погрешностью =[²(t)dt].

При частотной методике анализа погрешности рассматривается спектр последовательности выборок, состоящий из множества «смещенных» на частоты кратные 2/T₀ спектров исходного сигнала (рис. а ниже): спектральная плотность мощности последовательности выборок будет иметь вид: S*()=(1/T₀)[S()+S(-k{2/T₀})],

k=-.., k0, где S() – спектр исходного сигнала (заштрихован)

Интерполяция в этом случае рассматривается как выделение исходного спектра. При этом погрешность интерполяции определяется двумя составляющими: искажением полезного спектра сигнала при прохождении через интерполятор (первое слагаемое) и проникновением на выход интерполятора части смещенных составляющих спектра последовательности выборок (второе слагаемое):

²=(1/2)|1-W()|²S()d+(1/2)|W()|²S_СМ()d, <=-..>, где -среднеквадратичная погрешность, W()-коэффициент передачи интерполирующего фильтра (комплексный), S() – спектральная плотность мощности полезного сигнала, S_СМ() –спектральная плотность мощности смещенных составляющих.

Реальную не зависящую от энергии сигнала оценку погрешности дает относительная дисперсия погрешности: ²=²/_² (_²=(1/2)S()²d, <=-..> - дисперсия сигнала). В общем случае эта величина оказывается зависимой не только от метода интерполяции (W()), но и от частоты дискретизации, а также вида самого сигнала.

Кроме вышеприведенных факторов, на погрешность интерполяции влияет искусственное ограничение спектра сигнала частотой _В.