Sistemy_shirokopolosnoy_radiosvyazi_2009

4.3. Системы БФМ-сигналов на основе последовательностей Голда 115

где D — оператор циклического сдвига . Ясно, что объем семейства (4.7)

Установлено [26], что для регистров сдвига длины k взаимная корреляция последовательностей Голда (4.7), полученных с помощью предпочтительных пар М-последовательностей, ограничена величиной R :

Шаг 3. Построить схему генератора последовательностей Голда на основе регистров сдвига с линейными обратными связями. Например, пусть выбрана пара полиномов: f1(x) x5 x2 1 и f2 (x) x5 x4 x3 x2 1, которая является предпочтительной парой, тогда схема генератора Голда принимает вид рис. 4.2.

Рис. 4.2. Генератор полного семейства последовательностей Голда

Заметим, что изменение начального состояния генератора Г2 эквивалентно циклическому сдвигу М-последовательности — D . Таким образом, имея пару предпочтительных М-последовательностей с пиковым значением взаимокорреляционной функции R 9 , можно построить множество из 33 последовательностей с тем же пиковым значением ПВКФ и тем же пиковым значением боковых лепестков

116 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

автокорреляционных функций. В качестве подтверждения эффективности кодов Голда можно показать, что, например, при степени

k deg f (x) 13 ,т.е. n 213 1 8191 ,существует (8191) / 13 630 М-последовательностей с коэффициентом взаимной корреляции

R703 , тогда как последовательности Голда гарантируют выбор пар

сR (2(k 1)/2 1) 129 .

Вширокополосных системах наиболее часто речь идет об использовании порядка тридцати последовательностей и более, иногда число одновременно используемых последовательностей может превышать несколько сотен.

4.4.Системы БФМ-сигналов на основе последовательностей Касами

Другим важным семейством псевдослучайных последовательностей являются последовательности Касами большого и малого наборов [10,26], которые нашли применение в беспроводных системах телекоммуникаций третьего поколения [34, 42, 94].

Малый набор последовательностей Касами строится на основе М-последовательности с генераторным полиномом четной степени

4.4. Системы БФМ-сигналов на основе последовательностей Касами 117

Заметим, что в рассматриваемом примере последовательность децимации u cat[ (d),d] (101101101101101) , а объем малого набора Касами JК 4 .

Шаг 3. Построить схему генератора последовательностей Касами на основе регистра сдвига с линейной обратной связью и с учетом правила (4.10). В рассматриваемом примере функциональная схема генератора последовательностей Касами малого набора представлена на рис. 4.3.

Корреляционные функции (ПВКФ) последовательностей малого множества Касами имеют параметр RК примерно вдвое меньше по сравнению с параметром RГ последовательностей Голда. Однако, очевидно, что объем малого множества Касами меньше объема множества последовательностей Голда.

Рис. 4.3. Схема генератора последовательностей Касами малого набора

Большой набор последовательностей Касами содержит, по сути, последовательности Голда и последовательности Касами малого набора. При этом ПВКФ большого набора последовательностей Касами имеют то же значение параметра Rmax , что и последовательности Голда. Можно показать [26], что максимальная взаимная корреляция для большого набора последовательностей Касами Rmax 2(k 2)/2 .

Большие системы БФМ-сигналов на основе сегментов М-последовательностей. Сегментными называют системы, образованные из сегментов (отрезков) длинных М-последовательностей.

бить на неперекрывающиеся сегменты с длиной nс 63 символов. Всего таких сегментов было получено n / nс 131071 / 63 2080 , из которых с помощью ЭВМ отобрано L 1000 сегментов, ВКФ которых не превышают уровень 0,25. Многочисленные исследования

118 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

корреляционных свойств сегментов М-последовательностей численными методами показали [16], что статистические характеристики их ВКФ совпадают с соответствующими характеристиками М-последовательностей той же длины. Автокорреляционные свойства сегментов М-последовательностей оказываются значительно хуже, чем у М-последовательностей той же длины и существенно зависят от величины nс .

4.5.Системы ортогональных БФМ-сигналов на основе функций Уолша

Ортогональные сигналы. Система последовательностей (сигналов) Xi (xi,1, xi,2 , , xi,n ) , i 1, N называется ортогональной, если скалярное произведение каждой пары сигналов (коэффициент корреляции) равняется нулю, т. е.

Ортогональные коды фиксированной и переменной длины n применяются в технологиях CDMA [34], где каждому мобильному пользователю выделяется одна из последовательностей набора в качестве кода расширения, при этом взаимная корреляция между пользователями (в рамках одной соты — базовой станции) равна нулю. Наиболее распространенной ортогональной системой, используемой в CDMA технологии, являются системы (матрицы) Уолша-Адамара порядка N 4k , k — целое, которые определяются рекуррентным правилом

— матрица Уолша-Адамара порядка N , и полагают, что W1 1 , или в знаковой форме W1 .

Например, матрица W16 , построенная по правилу (4.13) и представленная в знаковой форме, имеет вид (4.14).

Каждая строка этой матрицы рассматривается как фазокодирующая последовательность (функция Уолша) для построения системы ортогональных БФМ-сигналов. Другие правила построения матриц Уолша-Адамара для случаев, когда размер матрицы не кратен степени

4.5. Системы ортогональных БФМ-сигналов на основе функций Уолша 119

числа 2, т. е. N 4k 2m , приведены в [29]. Ортогональные матрицы порядка N mn можно построить путем кронекеровского произведения матриц [88] порядков m и n

где wi, j — элементы матрицы Wm , при этом каждый элемент умножается по правилу умножения матрицы на скаляр.

Ортогональные коды расширения, такие как последовательности Уолша, могут использоваться только в случае, если все пользователи одного канала CDMA синхронизированы с точностью до малой доли элементарного сигнала. Из-за того, что взаимная корреляция различных сдвигов последовательностей Уолша не равна нулю, при отсутствии точной синхронизации требуется применять псевдослучайные последовательности.

торов ортогонального кода и их инверсий, т. е. противоположных кодов. Наиболее известными биортогональными кодами являются коды РидаМюллера. Например, для размера N 8 биортогональный код имеет

120 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

Основным достоинством биортогональных БФМ-сигналов является уменьшение в два раза полосы занимаемых частот по сравнению с ортогональными сигналами, поскольку для передачи одних и тех же сообщений биортогональный код требует в два раза меньшее количество символов при одной и той же скорости передачи сообщений.

4.6.Производные системы ортогональных

БФМ-сигналов Уолша

По режиму совместной работы абонентов систем CDMA все подвижные станции (ПС), или абоненты в рамках одной базовой станции (БС), являются синхронными (рис. 4.4, а). В то же время по отношению к ПС других БС — являются асинхронными (рис. 4.4, б), поэтому и возникла задача построения больших и сверхбольших систем сигналов с хорошими апериодическими авто- и взаимокорреляционными свойствами.

Рис. 4.4. Иллюстрация сущности работы синхронной — а и асинхронной — б систем связи

Ясно, что каждые два абонента, осуществляющие связь, обязательно входят в синхронизм. Для синхронной системы связи реакция согласованного фильтра СФk на сигнал Sk (t) в момент времени t T окончания сигнала равна Zk,k (T ) n , все остальные реакции

4.6. Производные системы ортогональных БФМ-сигналов Уолша 121

СФk на другие сигналы Zi,k (T ) 0 , поскольку сигналы ортогональны на интервале [0 T ] . Для асинхронной системы связи реакция на выходе СФk вида Zk,k (T ) n и все реакции вида Zi,k (T ) 0 , поскольку смещенные во времени сигналы Sk (t) и Si (t ) не являются ортогональными на меньших интервалах, например [ T ] .

Нетрудно видеть, что апериодические авто- и взаимокорреляционные функции (ААКФ и АВКФ) последовательностей Уолша

обладают плохими свойствами, поскольку Ri,k,макс ( ) > Rпорог , где пороговое значение корреляционных функций определяется соотноше-

нием [11,12]

ln(an)

Rпорог n , где a 1,6 . (4.18)

Следовательно, необходимо построить такую систему БФМсигналов, чтобы для произвольных корреляционных функций (ААКФ и АВКФ) выполнялось неравенство

В этом случае с вероятностью, близкой к единице, происходит правильное выделение информации.

С целью улучшения свойств апериодических корреляционных функций (ААКФ и АВКФ) системы сигналов Уолша часто строят так называемые производные системы сигналов [11,12].

Производным называют сигнал, который получается в результате поэлементного (посимвольного) перемножения двух сигналов. Система, составленная из производных сигналов, называется производной. Рассмотрим сущность эмпирического метода построения производных систем сигналов, когда в качестве исходной системы сигналов используется система Уолша (табл. 4.1), где каждая строка представляет собой кодовую последовательность соответствующего БФМ-сигнала. Эта система (табл. 4.1) ортогональных в точке ( t Ts ) сигналов обла-

4.6. Производные системы ортогональных БФМ-сигналов Уолша 123

системы Уолша. Расчеты дисперсии и эксцесса (по формулам [11]) для различных систем Уолша (У) и соответствующих производных систем (П) для случая, когда производящими последовательностями являются бинарные М-последовательности (длины 15, 31, 63, 127), приведены в табл. 4.3.

последовательности Уолша оставался без изменения. Результаты экспериментальных исследований показывают, что значения дисперсии и эксцесса производных систем практически мало критичны по отношению к выбору той или иной структуры М-последовательности или сегмента длинной М-последовательности. Объяснение этому состоит в том, что М-последовательности полностью удовлетворяют гипотезе Л. Е. Варакина [11,12] об оптимальном числе блоков. Сущность этой гипотезы состоит в том, что лучшие БФМ-сигналы следует искать среди множества тех БФМ-сигналов, для которых число блоков точно или приближенно определяется соотношением

На рис. 4.5 приведены результаты расчетов зависимости pош oт отношения q (сигнал/взаимная помеха) для двух систем сигналов: Уолша (У) и производной (П) при длине ФМ-сигналов n 128 .

Заметим, что в стандарте CDMA используется производная система шумоподобных функций Уолша порядка N 64 . В качестве производящих последовательностей выступают различные сегменты одной и той же М-последовательности периода n 215 1 для всех

124 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

базовых станций (БС). Каждая БС полностью определяется своей фазой — начальными условиями регистра сдвига, т. е. величиной циклического сдвига относительно исходной М-последовательности.

Рис. 4.5. Зависимость вероятности ошибки от взаимокорреляционных свойств сигналов системы Уолша (У) и производной системы (П)

4.7.Совершенные двоичные решетки

для CDMA — технологий

Впоследнее время в отечественной и зарубежной литературе усиленное внимание уделяется вопросам приложения совершенных двоичных решеток — СДР (Perfect Binary Array — PBA) [36—47] в различных радиотехнических задачах, например: для синтеза апертуры антенны; для построения совершенных частотно-временных кодов; для построения новых классов блоковых корректирующих кодов; для построения новых классов ортогональных, биортогональных и минимаксных сигналов со свойством многопетлевого циклического сдвига [35] и др.

Естественно, что для систем CDMA-технологий третьего поколения значимость выбора структуры ШПС и методов модуляции и демодуляции будет возрастать, следовательно, вопросы разработки новых информационных технологий на основе СДР представляются актуальными.