Sistemy_shirokopolosnoy_radiosvyazi_2009

176 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

пропорциональна ширине спектра ДЧ-сигнала. Влияние выбора структуры кодирующих последовательностей q(n) на корреляционные свойства ДЧ-сигналов непосредственно видно из качественного анализа поверхностей неопределенности рис. 5.1(неоптимальной) и рис. 5.2(оптимальной), которые построены по (5.10) и (5.11).

Выбор кодирующей функции q(n) , при которой все максимумы ФН (5.10) для значений n k не совпадают друг с другом, позволяет получить минимально возможные боковые пики ФН, равные 1 / N , при всех его смещениях по времени и по частоте, т. е. построить ДЧсигнал с оптимальной ФН.

5.2.Методы синтеза полных классов ДЧ-сигналов с оптимальными функциями неопределенности

В этом подразделе рассмотрены правила [52] рекуррентного построения оптимальных кодирующих последовательностей зондирующих сигналов и на этой основе разработаны конструктивные методы синтеза полных классов дискретных частотных сигналов произвольной длины N , каждый из которых обладает оптимальной функцией неопределенности в координатах «дальность-доплеровская частота».

Методы синтеза дискретных частотных сигналов (ДЧ-сигналов) с минимальным уровнем боковых лепестков функции неопределенности в координатах «дальность-доплеровская частота» рассматривались в [12, 50] и в ряде других. Оптимальность функции неопределенности ДЧ-сигнала полностью определяется выбором оптимальной кодирующей последовательности (ОКП), обладающей свойством не более одного совпадения на частотно — временной плоскости [11]. В [50] на основе метода перебора найдены полные классы ОКП для относительно малых длин N 3 12 . Для длин N 13 конструктивные методы синтеза полных классов ОКП неизвестны.

Перейдем вначале к исследованию структурных свойств ОКП на основе M — последовательностей. Для значений длин N p 1 , где p — произвольное простое число, в качестве ОКП выберем одну из линейных рекуррентных последовательностей максимального периода (МЛРП)

где q— один из первообразных корней простого поля Галуа GF p .

5.2. Методы синтеза полных классов ДЧ-сигналов 177

Из определения (5.21) следует, что произвольная МЛРП обладает свойством симметрии

Заметим, что лишь небольшая часть нелинейных рекуррентных последовательностей максимального периода (МНРП) из полного класса ОКП обладает свойством (5.22). Такие МНРП назовем M -подобными. В классе M -подобных МНРП легко осуществить поиск ОКП.

Сформируем таблицу умножения M элементов поля по правилу

M = mi, j = qi+j-2 mod p , i, j 1, N .

Из определения (5.23) непосредственно устанавливаем, что на гранях этой таблицы расположена одна и та же МЛРП, поэтому матрица M в поле GF p является симметрическим ортогональным циркулянтом, при этом строки второй половины этой матрицы являются обратными по сложению к соответствующим строкам первой ее половины.

Введем ряд преобразований, с помощью которых можно на основе заданной ОКП получить другие структуры ОКП и тем самым построить полный класс ОКП. Под структурой ОКП будем понимать количество различных элементов, из которых состоит ОКП, и их расположение на частотно-временной плоскости. Например, для значе-

ний p 7 и q = 3 находим, что Q0 6 1 3 2 6 4 5 . Обозначим через H энергетическую диаграмму (квадратную матрицу) порядка N , ко-

торая характеризует распределение энергии ДЧ-сигнала на частотновременной плоскости [11]. Пример такой диаграммы для случая, когда ОКП ДЧ-сигнала имеет вид Q0 6 , представлен на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Множество преобразований, переводящих данный квадрат (матрицу H ) в себя

178 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

Рассмотрим совокупность преобразований симметрии квадрата (матрицы) H , которые показаны на рис. 5.3, и найдем соответствующие этим преобразованиям правила перекодирования опорной ОКП Q0 N . Каждый закрашенный элемент матрицы H будем рассматривать как двумерный вектор (или точку) n,q(n) H . Первая координата этого вектора всегда рассматривается как номер позиции элемента q n Q0 N , а вторая координата — это значение элемента, независимо от того, какие аналитические выражения определяют значения этих координат.

Преобразование 1 . Вращение (rotation) матрицы H вокруг ее геометрического центра «О» на 90, 180, 270° сокращенно обозначим как

эквивалентно конструктивному правилу перестановки координат двумерных векторов и считывания новой ОКП в порядке убывания

где символ условно означает перекодирование (или перекодируется). Операции перекодирования Q0 N при поворотах матрицы H на 180 и 270° проводятся последовательно (рекуррентно). Ясно, что,

например, rot90 132645 465231 .

Преобразование R2 . Преобразование R2 есть поворот матрицы H на 180° вокруг этой же оси, поэтому перекодирование ОКП Q0 N определяется правилом

Какследуетизанализа(5.26),преобразование R2 сводитсякпостроению обратной по сложению ОКП, например, R2(132645)= 645132 .

Преобразование R3 . Построим правило перекодирования ОКП Q0 N при вращении вида R3 матрицы H на 180° вокруг главной диагонали. Преобразование R3 состоит в том, что координаты каждого вектора (элемента) матрицы H подвергаются двойному перекодированию: вначале значения координат заменяются обратными по сложению в поле GF p , затем происходит обмен местоположения этих координат и перезапись полученных векторов в порядке возрастания линейного дискретного времени

5.2. Методы синтеза полных классов ДЧ-сигналов 179

например, R3(Q0 (6))= R3(132645)= 312546 . Заметим, что операция транспонирования матрицы H также сводится к перекодированию элементов ОКП по правилу (5.27).

Преобразование R4 . Вращение матрицы H вокруг оси симметрии 4 на 180° приводит к тому, что каждый элемент ОКП Q0 N перекодируется по правилу зеркального отражения во времени

так R4(132645)= 546231 .

Преобразование 5 . Найдем правило перекодирования ОКП Q0 N при вращении матрицы H вокруг правой диагонали. Преобразование R5 представляет собой отражение (вращение на 180°) матрицы H вокруг второй главной диагонали, поэтому правило перекодирования каждого элемента q n Q0 N сводится к обмену местоположения координат этого элемента (двумерного вектора) и последующей перезаписи полученных векторов в порядке возрастания линейного дискретного времени, т. е.

Нетрудно найти, что R5(132645)=R4 éêërot90 (132645)ùúû =132564 . Введем операцию рекуррентного циклического сдвига ОКП по ча-

стоте .

Преобразование R6 . Рекуррентным циклическим сдвигом ОКП Q0 N по частоте назовем множество последовательностей

Q0 N , , 1, N 1 , элементы q n, , n 1, N , каждой из которых определяются рекуррентным соотношением

Отметим важное свойство преобразования R6 , которое состоит в том, что при значении параметра N / 2 рекуррентный циклический сдвиг произвольной МЛРП всегда приводит к M -подоб- ной МНРП X x n , n 1, N , структура которой удовлетворяет условию замкнутости (5.31) и условию симметрии (5.32), подобно МЛРП

являются обратными по сложению к соответствующим строкам первой ее половины, как это наглядно показано в (5.35). Следовательно, при синтезе полных классов ОКП достаточно исследовать на опти-

Преобразование R9 . Преобразование ОКП как совершенного разностного множества. Каждая ОКП длины N представляет собой

Преобразование R9 представляет собой следующую цепочку процедур: на основе заданной ОКП построить разностную числовую ма-

затем заменить главную нулевую диагональ матрицы D элементами опорной ОКП, наконец, испытать на оптимальность все циклические сдвиги каждой строки преобразованной матрицы D . Например, пусть опорная ОКП длины N 7 имеет вид D0 4652317 , тогда последовательность процедур преобразования R9 представляется такой конструкцией:

182 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

Ясно, что конструкция (5.37) с помощью преобразований R1, R2, R4 определяет собой как минимум 40 ОКП.

Перейдем к изложению конструктивного метода построения полных классов ОКП вначале для случая, когда длина N p 1 . Важные технические детали этого метода поясним с помощью сопровождающего примера синтеза полного класса ОКП длины N 6 . Пусть X x n , n 1, N — произвольная ОКП. Переупорядочим столбцы матрицы-циркулянта M в соответствии с порядком следования элементов в X и опустим в переупорядоченной матрице вторую половину обратных (избыточных) строк. Преобразованную матрицу обозначим как M X . Для каждой строки Xi M X находим

ипрописываем рядом с этой строкой номера циклических сдвигов

, при которых Xi есть ОКП. Результаты выполненных операций представим в виде следующей обобщенной алгебраической конструкции, содержащей порождающие ОКП:

где X1 X .

На основе данных конструкции (5.38) записываем соответствующее подмножество ОКП по конструктивному правилу размножения ОКП

где приняты сокращения:

Xi — обратная ОКП;

— операция зеркального отражения ОКП, при этом, если строка Xi не порождает ОКП, то она, естественно, опускается.

Построение полного класса ОКП заданной длины N p 1 лучше всего проводить, придерживаясь определенной схемы поиска, как это показано на рис. 5.4 для случая, когда p 7 .

Опишем сущность основной процедуры поиска и размножения ОКП, состоящей из 5 этапов (рис. 5.4). На этапе 1 осуществляется ряд подготовительных операций: выбор значения p характеристики поля GF p ; нахождение первообразных корней i этого поля; построение МЛРП для выбранного корня поля; построение матрицы-циркулянта M и конструкции K Q0 , состоящей из 2 p 1 ОКП на основе МЛРП. Например, на основе данных этапа 1 (рис. 5.4) находим

5.2. Методы синтеза полных классов ДЧ-сигналов 183

Рис. 5.4. Основные этапы синтеза ОКП

Аналогичные построения проводятся для других пар корней произвольного поля GF p .

Существенная операция на этапе 1 состоит в построении всех M -подобных ОКП при помощи свойств (5.31) и (5.32) преобразования R6 . В рассматриваемом примере легко находим X 465312 , при этом соответствующие конструкции имеют вид

184 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

порождающих последовательностей и множество всех нелинейных ОКП представляем следующими конструкциями:

Из анализа (5.42) видно, что конструкция M D1,1 породила 48 ОКП, при этом получены три новые структуры МНРП, отмеченные в (5.43) жирным шрифтом: D1,1 465231, D2,1 541623 , D3,1 153462 . Ясно, что каждая из этих структур, в свою очередь, может породить новые структуры с помощью указанной ранее цепочки преобразова-

ний вида rot90 M K . Поэтому процесс поиска ОКП должен осуществляться рекуррентно, путем многократного применения пятиэтапной процедуры (рис. 5.4) к каждой новой структуре ОКП до завершения полного цикла повторения каждой порождающей ОКП.

Рассматривая циклические сдвиги D1,1 465231 для значений 1,2 , находим новую структуру порождающей МНРП D1,2 rot90 523146 615324 , с ее помощью построим

Наконец, проверяем, что rot90 162453 254631 не приводит к новой структуре МНРП. Этим завершается полный цикл исследования порождающих возможностей ОКП вида D1,1 . Совершенно аналогичные исследования, проведенные для ОКП вида D2,1 , позволили найти

5.2. Методы синтеза полных классов ДЧ-сигналов 185

Таким образом, завершен полный цикл перекодирования матриц M в рамках второй группы ОКП с порождающим словом D2,1 541623 . Полный анализ третьей группы ОКП с порождающим словом D3,1 153462 не приводит к новым структурам ОКП.

Возвращаемся к началу схемы исследований (рис. 5.4) и выбираем значение 0 1 , т. е. в качестве порождающей последовательности

испытываем D11 rot90 326451 354126 , это действительно новая структура МНРП, для которой

Из анализа (5.48) находим, что конструкция K D11 не порождает

новыхструктурМНРП,поскольку rot90 423651 451326 МЛРП . Наконец, устанавливаем, что для 0 2 (рис. 5.4) испытания в полном цикле порождающей последовательности

D12 rot90 264513 243615