Sistemy_shirokopolosnoy_radiosvyazi_2009

196 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

Отметим также, что оптимальные системы ДЧ-сигналов на основе D(p) -кодов не являются ортогональными, поскольку первый столбец D(p) -кодов состоит из одинаковых символов.

Определение 5.4.3. Модифицированным (укороченным) D(p 1) -кодом децимации длины N p 1 назовем D(p) -код (5.58) без первого столбца.

Таблица 5.5

Примеры построения D(7) -кодов

Из определения D(p 1) -кода следует, что мощность полного класса оптимальных систем ДЧ-сигналов, обладающих свойством ортогональности, также определяется соотношением (5.59), при этом основные параметры оптимальной системы ортогональных ДЧ-сигналов (объем J , длина каждого сигнала N , число сдвигов

Пример построения полного класса оптимальных систем ортогональных ДЧ-сигналов на основе D(4) -кодов децимации представлен в табл. 5.6. Первые кодовые слова в каждом коде представляют собой либо МЛРП, либо нелинейные МНРП. Напомним, что все кодовые слова D(p) -кодов и укороченных D(p 1) -кодов рассматриваются как ЧКП.

Относительная скорость передачи информации оптимальной системы ортогональных ДЧ-сигналов определяется соотношением

5.4. Алгоритм построения полных классов оптимальных систем ДЧ-сигналов 197

Из анализа соотношения (5.61) следует, что оптимальные системы ДЧ-сигналов являются низкоскоростными системами, при этом скорость передачи быстро падает с ростом характеристики p . Другими словами, вся избыточность используется для придания сигналам заданных корреляционных и спектральных свойств, а также специальной структуры, допускающей упрощение технической реализации устройств их формирования и обработки.

198 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

5.5.Алгоритм построения полных классов оптимальных систем ДЧ-сигналов над расширенными полями Галуа

Рассмотренный ранее алгоритм построения полных классов оптимальных систем ДЧ-сигналов на основе метода децимации ( D(p) -коды и D(p 1) -коды) обобщает все известные ранее алгоритмы, основанные на использовании фундаментальных положений теории чисел и теории простых полей Галуа GF (p) . Однако метод децимации, как и другие подобные ему алгоритмы, накладывает ограничение на возможные длины ДЧ-сигналов: N p либо N p 1 , где p — простое число. Ясно, что на практике может потребоваться существенно больший набор (ассортимент) возможных длин N оптимальных ДЧ-сигналов [53].

Заметим также, что в простых полях отсутствует понятие изоморфных полей, т. е. понятие первообразного полинома f (x) степени расширения m deg f (x) . В простых полях порядок мультипликативной группы N p 1 — всегда составное число, в то время как в расширенных полях порядок N q 1 , q pm может быть как простым, так и составным числом. Таким образом, в расширенных полях GF (q) , q pm существенно больший ассортимент различных алгебраических конструкций, что позволяет предложить ряд регулярных правил построения оптимальных, композиционных и больших систем ДЧ-сигналов.

Ненулевые элементы расширенного поля Галуа GF (q) , q pm , упорядоченные в соответствии с первообразным неприводимым над полем GF (p) полиномом f (x) , степени deg f(x) m и первообраз-

торов x [x(i) , x(i) , , x(i) ] и, наконец, в виде десятичных чисел

0 1 m 1

ni , i 0,q 2 , — нумераторов упорядоченных элементов поля. Взаимно однозначное отображение ( ) между различными фор-

Определение 5.5.1. Последовательность десятичных чисел N (q) {ni } , i 0,q 2 над расширенным упорядоченным полем

200 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

Определение 5.5.2. Частотно-временным кодом, циклическим по частоте, или сокращенно FN (q) — кодом над полем GF (q) , q pm , назовем множество таких кодовых слов, каждое из которых определяется правилом

тор ni определяется двумя соотношениями (5.63) и (5.64), то FN (q) — код имеет две различные формы представления: FN1(q) -код и FN 2(q) -код соответственно, как это видно из табл. 5.8, построенной на основе данных табл. 5.7. Нетрудно непосредственно убедиться, что каждый FN (q) -код из табл. 5.8 обладает свойством не более одного совпадения ( 1) при произвольных временных сдвигах между каждой парой его кодовых слов. Однако докажем справедливость этого свойства FN (q) - кода в общем случае.

Утверждение 5.5.1. Каждый FN (q) — код над произвольным полем GF (q) , q pm обладает свойством не более одного совпадения ( 1) и, следовательно, порождает оптимальную систему ДЧсигналов.

Доказательство. Рассмотрим два произвольных кодовых слова FN 1(i) и FN 2 (i) , i 0,q 2 из (5.65) сдвинутых друг относительно друга на произвольную величину . Число одновременных совпаде-

5.5. Алгоритм построения полных классов оптимальных систем ДЧ-сигналов 201

ний элементов по времени и частоте этих слов для произвольных

или после несложных преобразований (5.66) получаем эквивалентное сравнение

Сразу отметим, что при = 0 любые два кодовых слова FN(q)- кода не имеют совпадений. Поскольку множитель (1 ) — число,

а величина 2 1 — ненулевое число, при этом множество { i} ,

i 0,q 2 — полная система ненулевых вычетов, то сравнение (5.67) имеет не более одного решения ( 1) для произвольного значения[84]. Таким образом, действительно, каждая система ДЧ-сигналов на основе FN (q) -кода над произвольным полем GF (q) , q = pm является оптимальной.

Особенность предложенных классов FN (q) -кодов состоит в том, что длина кодовых слов N q 1 , а общее число M частот, из которых формируется каждое кодовое слово без повторений частот, M q , т. е. на единицу больше длины N сигнала.

Изложим теперь формальную процедуру построения полного класса оптимальных систем ДЧ-сигналов на основе единственного построенного FN (q) -кода (5.65). Для этого с целью наглядности представим FN (q) -код в обобщенном символьном (буквенном) виде. Например, для FN1(9) - кода из табл. 5.8 после замены чисел на буквы по правилу

построим FN1(9) - код в символьном виде (5.68).

Ясно, что каждая пара буквенных строк из (5.68) обладает свойством не более одного совпадения ( 1 ). Проведя теперь однозначное перекодирование букв из (5.68) в соответствующие числа ni по правилу всех возможных перестановок из восьми различных чисел

ni , i 1,8

5.6. Композиционные системы ДЧ-сигналов над простыми полями Галуа 203

максимальных объемов и хороших корреляционных свойств, являются композиционные системы, получаемые путем объединения оптимальных систем ДЧ-сигналов [11].

Определение 5.6.1. Композиционным частотно-временным S(p) -кодом над простым полем GF (p) называют p -ичный код, каждое кодовое слово которого определяется правилом

Покажем, что над произвольным полем Галуа GF (p) всегда может быть построена минимаксная композиционная система ДЧ-сигналов, без повторения частот в рамках каждого сигнала, для которой максимальный боковой лепесток взаимной апериодической корреляции между каждой парой сигналов имеет минимальное значение

min max 3 .

Утверждение 5.6.1. Над произвольным полем GF (p) простой характеристики p всегда существует минимаксная композиционная система ДЧ-сигналов без повторения частот с параметрами: N M p

—длина сигнала; J p(p 1) —объем системы; min max 3 —пара- метр взаимной корреляции, если S(p) -код (5.70) построен на основе вычетов степени r p 2 .

Доказательство. В соответствии с алгоритмом Евклида [84] находим, что н. о. д. (p 2, p 1) 1 для произвольного простого p , поэтому композиционная система действительно состоит из ДЧ-сигналов без повторения частот в рамках каждого сигнала. Пусть — произвольный временной сдвиг между некоторой парой кодовых слов S(p)

всегда найдется такое , при котором сравнение (5.72) имеет решение. Для других значений i 1, p 1 преобразуем сравнение (5.72) с учетом теоремы Ферма [84] — i p 1 1( mod p) к эквивалентному усеченному сравнению второй степени относительно переменной i

204 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

( 1 2 )i2 (k1 1 k2 2 )i k2 0( mod p) , i 1, p 1 . (5.73)

Последнее сравнение (5.73) второй степени имеет не более двух решений [87]. Таким образом, исходное сравнение (5.72) имеет не более трех решений, следовательно, параметр взаимной корреляции минимаксной композиционной системы ДЧ-сигналов min max 3.

Из анализа правила (5.70) следует, что композиционные коды квадратичных вычетов (r 2) имеют параметр min max 2 . Однако в этом случае н. о. д. (2, p 1) 2 , значит, каждый ДЧ-сигнал является сигналом с двойным повторением частот, т. е. имеет в два раза меньшую базу.

Экспериментальные исследования показали, что минимаксные композиционные системы ДЧ-сигналов первого порядка (т. е. без повторения частот) могут существовать и при некоторых других значениях вычетов степени r 1 , для которых (r, p 1) 1 , как это показано с помощью данных табл. 5.9.

Однородные и неоднородные системы ДЧ-сигналов. По определению ДЧ-сигналы являются последовательностями элементарных сигналов, смещенных по времени и по частоте. В зависимости от количества K элементарных сигналов с различными несущими частотами, расположенными на одной временной позиции, различают ДЧсигналы порядка K .

Определение 5.6.2. Систему ДЧ-сигналов на основе S(p) -кодов r - ичных вычетов, длины N p будем называть однородной, если каждый сигнал системы является сигналом первого порядка ( K 1 ) без повторения частот, в противном случае — неоднородной.

5.7. Алгоритм работы и схема кодека композиционного S(p) кода 205

Однородные системы получили наибольшее распространение на практике. Очевидно, что если н. о. д. (r, p 1)>1 , то система является неоднородной.

Структурные свойства композиционных S(p) -кодов. Базовым

слово S(p) -кода для различных значений характеристики поля p можно рассчитать заранее и хранить в памяти кодера. Например, для

Каждое порождающее кодовое слово порождает путем его цикличе-

сигналов. В табл. 5.10 построен композиционный S(7) -код и представлен в виде объединения оптимальных циклических по частоте подкодов. Порождающие кодовые слова S(7) -кода выделены в табл. 5.10 жирным шрифтом.

5.7.Алгоритм работы и схема кодека

композиционного S(p) кода

Схема кодера композиционного S(p) -кода. Учитывая структурные свойства композиционного S(p) -кода, построим обобщенную схему кодера — рис. 5.6.

Источник сообщений формирует ансамбль равновероятных сообщений (символов, букв, знаков) — A (a j ) , j 0, J 1 , J p(p 1) . Счетно-решающий прибор рассчитывает два параметра k и текущего кодового слова S kp 2, на основе значения номера j передаваемого сообщения a j по правилу