Sistemy_shirokopolosnoy_radiosvyazi_2009

4.7. Совершенные двоичные решетки для CDMA — технологий 125

В данном подразделе на основе содержания работ [36—40] предложены конструктивные правила рекуррентного построения семейств СДР порядка N 2k и N 3 2k для произвольных натуральных чисел k. Сразу же отметим, что СДР прямоугольной формы легко строятся на основе соответствующих СДР квадратной формы, поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется рассмотрению рекуррентных правил построения бесконечных семейств СДР квадратной формы.

Определение 4.7.1. Совершенной двоичной решеткой называют двумерную последовательность-матрицу

имеющую идеальную двумерную периодическую автокорреляционную функцию — ДПАКФ (Periodic autocorrelation function — PACF), элементы которой

4.7. Совершенные двоичные решетки для CDMA — технологий 127

приведенных ранее решеток V (2) , V (4) , V (6) с помощью операции негациклических сдвигов находим

СДР H(2N ) порядка 2N строится на основе решеток H(N ) и V (N ) по следующему конструктивному правилу, которое представим в виде ряда процедур и обозначим его как Правило П. 4.7.1

Шаг 1. Построить вспомогательную прямоугольную решетку

H(N / 2,2N ) размера ( N / 2 2N ) путем перемежения элементов

(межэлементного вложения) каждых двух соседних строк заданной решетки H(N ) порядка N , как это схематично показано на рис. 4.6, для первых двух строк решетки H(6) из (4.26).

4.8. Правила размножения совершенных двоичных решеток заданного порядка 129

где — оператор, описанный ранее в выражении (4.29).

Таким образом, правило П. 4.7.1 и правило П. 4.7.2 полностью описывают конструктивный метод рекуррентного построения бесконечных семейств СДР порядков N 2k и N 3 2k для произвольных натуральных чисел k . Заметим также, что на основе СДР квадратной формы порядка N путем операции межэлементного вложения ( ) каждых двух последовательных строк или столбцов строятся СДР прямоугольной формы размера H(N / 2,2N ) или H(2N , N / 2) соответственно.

4.8.Правила размножения совершенных двоичных решеток заданного порядка

Рассмотрим правила размножения совершенных двоичных решеток заданного порядка N . В настоящее время известны алгоритмы построения различных классов СДР [41—47]. Непосредственно из определений (4.18) и (4.19) устанавливаем, что каждый элемент ДПАКФ — R(m, n) произвольной решетки H порядка N может быть представлен как след ( tr ) матрицы H HT в виде

— оператор циклического сдвига строк матрицы H вверх на m строк;

Qn — оператор циклического сдвига столбцов матрицы H влево на n столбцов.

Первые три правила размножения СДР сформулируем в виде следующих утверждений, доказательства которых основаны на известных свойствах следа матрицы.

Утверждение 4.8.1. Каждая СДР порядка N порождает E(N ) — класс эквивалентных матриц — СДР путем операций циклического сдвига по строкам и столбцам и инверсии, при этом мощность класса

Утверждение 4.8.2. Если матрица H — СДР, то транспонированная матрица HT — тоже СДР.

130 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

Утверждение 4.8.3. Если матрица H — СДР порядка N , то зер-

кальная к ней матрица H — также СДР.

Представим произвольную решетку H(N ) в виде перемежения ( ) ее четырех прореженных по пространственным координатам матриц в соответствии с правилом [41]

при этом индексы в hi, j изменяются в пределах i, j 0, N 1 . Обозначим вспомогательные (прореженные) матрицы через

A(N / 2 ai, j , B(N / 2) bi, j , C(N / 2) ci, j , D(N / 2) di, j

и запишем соотношение (4.31) в эквивалентном виде

H(N ) A(N / 2) B(N / 2) C(N / 2) D(N / 2). (4.34)

Правило перестановок. Следующее правило размножения СДР состоит в том, что в выражении (4.34) прореженные матрицы A, B,C, D можно переставлять местами, число таких перестановок равно 4!=24. При этом в силу утверждений 4.8.1—4.8.3 каждая из прореженных матриц допускает свои циклические сдвиги по строкам, по столбцам, инверсию, транспонирование и зеркальное отражение. Ясно, однако, что в общем случае в зависимости от структуры прореженных матриц некоторые из указанных операций могут приводить к одинаковым прореженным матрицам и, следовательно, к одинаковым СДР.

Множества различных структур (степеней свободы) прореженных матриц обозначим как

132 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

от конкретно поставленной задачи построения того или иного класса СДР с заданными структурными и корреляционными свойствами.

Обозначим произвольно заданную опорную решетку через H0 (N ) , тогда все ее циклические сдвиги определяются как Lk1H0 (N )Qk2 , где k1, k2 0, N 1 , и пусть ДПАКФ решетки H0 (N ) обозначена через R(m, n) , m, n 0, N 1 . Двумерная периодическая взаимокорреляционная функция (ДПВКФ) между H0 (N ) и ее циклически сдвинутой решеткой определяется соотношением

где символ — означает двумерную корреляцию (свертку); m, n 0, N 1 .

Непосредственно из принятых определений следует Утверждение 4.8.5. ДПВКФ — B(m, n) решеток H0 (N ) и

Lk1H0 (N )Qk2 порядка N , k1, k2 0, N 1 является ДПАКФ — R(m, n) решетки H0(N), сдвинутой на k1 строк вниз и k2 столбцов

вправо, т. е.

Например, для решетки H0 (4) из (4.26) и ее циклических сдвигов и инверсий все ДПВКФ решеток E(4) -класса представлены в табл. 4.5.

Утверждение 4.8.5 имеет важное практическое значение, поскольку является, по сути, строгим обоснованием целесообразности выбора метода информационной модуляции на основе всех циклических сдвигов и инверсий заданной опорной СДР — H0 (N ) . Действительно, из соотношения (4.38) и анализа данных табл. 4.5 следует, что в общем случае оптимальный демодулятор различения сигналов (решеток) каждого E(N ) -класса можно построить на основе единственного двумерного согласованного фильтра (ДСФ) и схемы определения координат и знака максимального пика ДПВКФ, вместо 2N 2 -канального ДСФ, как это требуется в общем случае для построения оптимального приемника различения сигналов произвольной структуры.

134 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

Метод построения полного U(N ) -класса СДР H(N ) порядка N 8 и их прореженных решеток состоит в реализации следующих семи правил ( 1 7 ) перемежения прореженных матриц различных структур порядка N / 2 4 , [46]:

Объем U полного U(N ) -класса СДР H(N ) порядка N 8 составляет U 688128 решеток [46].

Правило построения БФМ-сигналов на основе СДР [47].

Для каждой решетки Hi (N ) U(N ) построим кодирующую последовательность Ci длины n N 2 путем конкатенации (cat) последовательных строк из Hi (N ) . Например, для СДР H(4) , приведенной ниже, и всех ее циклических сдвигов по строкам и столбцам находим C -код (4.41) из 16 одномерных фазокодирующих последовательностей Ci длины n 16 , где пробелы в одномерных последовательностях Ci проставлены для удобства прочтения и анализа их структурных свойств. Заметим, что по построению C -последовательности на основе циклического E(N ) класса являются ортогональными

и обладают свойством многопетлевого циклического сдвига, или m

-сдвига [34]. Исходя из структурных свойств СДР, каждая кодирующая C -последовательность имеет одну и ту же величину разбаланса знаков символов

где K — число символов «+1»;

K — число символов « — 1» на периоде C -последовательности;

N— размер опорной решетки.

Результаты исследования корреляционных свойств (ПАКФ иААКФ)бинарныхкодирующихпоследовательностей Ci , i 1,688128 на основе полного U(8) -класса представлены в виде данных табл. 4.6.