Sistemy_shirokopolosnoy_radiosvyazi_2009

4.11. Рекуррентный алгоритм скользящего корреляционного декодирования 155

Найдем оценку удельных коэффициентов аппаратурной сложности арифметического устройства СКД-декодера двоичных циклических кодов. Для этого установим связь в аналитическом виде между координатами zi , i 0, n 1 , вектора Z CY при рекуррентном скользящем режиме корреляционного декодирования.

Принятое колебание y(t) — смесь сигнала с шумом — представим для каждого элемента разрешения по времени с номером k с помощью его n1 текущих отсчетов как вектор-столбец

j 0

для каждого k 0, n1 n .

Одно из основных свойств матрицы-циркулянта состоит в том,

где значения индексов редуцируются по модулю n .

Найдем связь в аналитическом виде между координатами векторов Z(k) и Z(k 1) . Для этого представим выражение (4.73) с учетом (4.70) в виде

j 0

а выражение для -й координаты вектора Z(k 1)

156 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

или изменяя пределы суммирования

j 0

Сопоставляя выражения сумм в правых частях соотношений (4.75) и (4.76), находим, что при значении i 1 эти суммы тождественно равны и, следовательно, справедливо рекуррентное соотношение для каждого k 1, 2, 3

вклады от ранее поступившего точно n тактов назад отсчета yk 1 . Соотношение (4.77) представляет собой, по существу, рекуррент-

ный алгоритм вычисления круговых сверток (корреляций) произвольных циклических кодов максимальной длины при отсутствии синхронизации декодера по кодовым словам. Анализ алгоритма (4.77) при условии синхронизации декодера и, следовательно, при значении n1 n , т. е. когда отсутствует влияние вычитаемых вкладов

для произвольных двоичных кодов максимальной длины.

Заметим, что АУ корреляционного декодера кодов максимальной длины с максимальным уровнем параллелизма работы на основе алгоритма Уолша-Адамара характеризуется такими значениями коэффициентов сложности [64]:

Рассмотрим пример построения СКД-декодера для кода максимальной длины, заданного первообразным неприводимым над полем GF (2) полиномом f (x) x3 x 1. Кодовая матрица-циркулянт этого кода (в знаковой форме) имеет вид

158 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

160 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

слова Y по кодовым словам 1 и 32 путем вычисления одномерного вектора корреляции Z(1) , при этом отбор максимума модуля координаты проводится с учетом (запоминанием) знака этой координаты. Второй парциальный декодер, подобный схеме рис. 4.13, декодирует Y по кодовым словам 2, 31 путем вычисления n -мерного ( n 15 ) вектора корреляции Z(2) {zi(2) }, i 0, 14 , при этом отбор модуля максимальной координаты zi(2) проводится также с запоминанием знака этой

max

координаты. Окончательное решение о максимально правдоподобном переданном кодовом слове принимается в решающем устройстве РУ3 в момент времени j n 1 , где также учитывается знак максимально правдоподобной координаты. В этот же момент времени ( j n 1 ) происходит обнуление ячеек памяти АУ парциальных декодеров и СКДдекодер готов декодировать очередное кодовое слово Y .

Аппаратурная сложность АУ СКД-декодера (15,5) кода БЧХ определяется следующими значениями удельных коэффициентов сложности:

Поскольку не все коды БЧХ обладают свойством обратных кодовых слов [3], то естественно принять, что оценка (4.80) является практически оптимальной (предельно достижимой) для предложенного рекуррентного алгоритма скользящего корреляционного декодирования двоичных циклических кодов.

В заключение отметим, что рассмотренный рекуррентный алгоритм скользящего корреляционного декодирования работает также для произвольных q ичных циклических кодов.

4.12.Быстрые ортогональные преобразования на основе совершенных двоичных решеток

В данном подразделе предложено правило построения нового клас-

са быстрых ортогональных преобразований — матриц C порядков n (2k )2 и n (3 2k )2 , k 1,2, , построенных на основе совершен-

ных двоичных решеток порядков N 2k либо N 3 2k . Показано, что бинарные ортогональные матрицы C обладают практически привлекательным свойством многопетлевого циклического сдвига ( N -сдвига), что обеспечивает эффективную процедуру скользящего метода расчета коэффициентов преобразования.

4.12. Быстрые ортогональные преобразования 161

В теории и практике ортогональных преобразований используют в основном две группы ортогональных функций: синусоидальные и прямоугольные (квадратные) [48]. Дискретизация конечного множества прямоугольных функций Хаара и Уолша на множестве равноудаленных точек приводит к образованию матриц Хаара и Адамара соответственно. Строки этих матриц служат базисными векторами при определении преобразований Хаара и Уолша-Адамара, а структурные свойства самих матриц обеспечивают построение алгоритмов

цы C по правилу: каждый элемент строки Cm выразить через соот-

где индексы в правой части (4.81) редуцируются по модулю N для получения целой части Int x / N и остатка Res x / N от деления x на модуль N , т. е. определяются соотношениями:

Из анализа соотношений (4.81), (4.82), (4.83) и учитывая определение СДР — соотношения (4.19) и (4.20), устанавливаем свойства матрицы преобразования C .

Свойство 4.11.1. Матрица преобразования C является ортого-

162 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

где CT и C 1 — ,соответственно, транспонированная и обратная матрицы порядка n каждая.

Свойство 4.11.2. Матрица C порядка n N 2 обладает свойством многопетлевого циклического сдвига — N -сдвига [34], где N — порядок СДР. Конструктивно это означает, что каждая строка Cm матрицы C получается из C0 , либо путем циклического сдвига чисел внутри каждого N -блока, либо путем циклического сдвига самих N -блоков, в зависимости от величины номера строки m 1, n 1 , как это следует из соотношений (4.82) и (4.83).

Свойство 4.11.3. Матрица C всегда может быть представлена в виде блочной структуры из n N 2 блоков размера N N каждый. Блок представляет собой подматрицу-циркулянт, при этом, в общем случае, число различных между собой структур подматриц-циркулянт равно N .

Свойство 4.11.4. Кронекеровское произведение ортогональных матриц C и известных ортогональных матриц H , ( K C H ) позволяет существенно расширить ассортимент длин n и число различных между собой структур ортогональных матриц K .

Представим в качестве примера обобщенную блочную структуру ортогональной матрицы C порядка n 16 на основе произвольной СДР порядка N 4 , как это показано в виде алгебраической конструкции (4.85).

Заметим, что циклических ортогональных матриц над алфавитом 1 не существует, за исключением единственного вырожденного случая n 4 , когда порождающая матрицу-циркулянт строка в знаковой форме (при соответствии 1 , a 1 ) имеет вид C0 . Однако на основе СДР удается построить ортогональные матрицы преобразования C со свойством многопетлевого циклического сдвига. Ни одно из ранее известных ортогональных преобразований над алфавитом 1 этим свойством не обладает.

Учитывая регулярные структурные свойства матрицы преобразования C , удается разработать экономичную схему вычислителя коэффициентов преобразования. В качестве примера на рис. 4.15 представлена действующая модель экономичного вычислителя коэффициентов преобразования C , построенная в рамках математической системы MATLAB Simulink [78—80] для случая, когда СДР (в знаковой форме) имеет вид (4.86), при этом матрица ортогонального преобразования C имеет вид блочной структуры (4.87). Поскольку каждый из n блоков матрицы C представляет собой матрицу-циркулянт размера

164 Глава 4 | Системы бинарных фазоманипулированных сигналов. БФМ-сигналы

синхронизации, как это видно из потактового рассмотрения работы вычислителя рис. 4.15 и анализа структуры синхропоследовательности S 0111011101110111 .

Рис. 4.15. Модель экономичного вычислителя коэффициентов преобразования C (4.87)

Синхропоследовательность S управляет синхронной работой всех ключей, имеющих одинаковый уровень порога переключения, равный 0,5. Для реализации схемы быстрого вычисления коэффициентов преобразования C требуется, в общем случае, n сумматоров (вычитателей) и n ячеек памяти, каждая на один такт работы. Обозначим сокращенно вычислитель быстрого преобразования C как ВБПС.

Заметим, что для реализации схемы быстрого вычисления коэффициентов преобразования Уолша-Адамара — ВБПУА также с максимальным