Sistemy_shirokopolosnoy_radiosvyazi_2009

186 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

также не приводят к новым структурам ОКП. Это означает, что построение полного класса ОКП завершено.

Очевидно, что для построения полного класса ОКП длины N 6 и объема J 6 116 потребовалось испытать на оптимальность всего 7N 2 / 2 126 различных МНРП, вместо 6!=720, как это требует

метод полного перебора. Также отметим, что операция вращения Q 1 rot90 Q0 легко реализуется, например, в системе MATLAB наосновестандартныхкоманд: B,index sort Q0 и Q 1 fliplr index , а процедура проверки новых структур МНРП осуществляется с использованием алгоритмов сортировки практически мгновенно.

Возможны и другие (эквивалентные) схемы поиска порождающих ОКП, однако испытания каждой порождающей ОКП в полном цикле вида rot90 M K являются необходимым и достаточным условием построения полного класса ОКП.

Для найденного полного класса ОКП длины N 6 построим та-

Из анализа данных табл. 5.2 следует, что 19 ОКП начинаются символом i1 6 , поэтому, опуская этот символ, получим в точности 19 ОКП длины N 5 . Тогда с помощью рассмотренных ранее преобразований легко построим полный класс ОКП длины N 5 .

С другой стороны, из табл. 5.2 видно, что имеется 19 ОКП с последним символом i 6 1 . Присоединяя справа к каждой из этих последовательностей число p 7 , получим 19 МНРП длины N p 7 каждая. Далее осуществляем поиск ОКП на множестве D 7 всех 19 7 133 циклических сдвигов этих МНРП. Результаты этой процедуры представим в виде такой конструкции:

188 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

строка соответствующего числового треугольника T не должна содержать одинаковых разностей, во-вторых, в рамках каждой стороны равностороннего числового треугольника T также не должно содержаться одинаковых разностей.

Заметим, что автор работы [50] утверждает только первое требование, однако это ошибочно. Действительно, второе требование совершенно необходимо соблюдать при синтезе ОКП, в то время как при анализе ОКП второе требование выполняется автоматически. Видимо, это одна из причин, по которой автору работы [50] не удалось вручную синтезировать ОКП длины N 13 .

На основании свойств числовых треугольников T и проведенного уточнения необходимого и достаточного условия существования ОКП разработано конструктивное правило построения ОКП произвольной длины N , которое условно состоит из N 1 / 2 шагов. На каждом шаге путем учета общих структурных свойств числового треугольника T соответствующего размера осуществляется выбор точно двух очередных элементов (чисел) кодирующей последовательности Q N , за исключением последнего шага, когда оптимизируется расположение трех или более оставшихся элементов. Изложим сущность этого правила (без ограничения общности) на конкретном примере синтеза ОКП, длины N 13 , для которой общий вид числового треугольника представлен далее соотношением (5.52).

Правило П. 5.2

Шаг 1. Выбираем значение вершины числового треугольника

полняем соответственно колонки № 1и № 13 вспомогательной табл. 5.3. Из опыта синтеза полных классов ОКП других длин следует, что примерно 40% ОКП имеют значение вершины своего числового треугольника 1,N 1 , поэтому выбранный путь можно считать наиболее правдоподобным. Заметим, что идея синтеза сигналов на основе метода максимально правдоподобного пути с успехом использована ранее в [50].

Шаг 2. Выбираем пару элементов ( D1,12 , D2,13 ) второй снизу строки числового треугольника (5.52), например D1,12 =-6 , а D2,13 = 2 ,

так чтобы выполнялись оба требования из свойства 5.2.4, и заполняем соответственно колонки № 2 и № 12 табл. 5.3.

Шаг 3. На основе новых данных табл. 5.3 рассчитываем значение внутреннего элемента третьей снизу строки числового треугольника (5.52): D2,12 =-5 . Затем выбираем (обосновываем) значения крайних

190 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

ветственно колонки № 3 и № 11 табл. 5.3.

Шаг 4. На основе новых данных табл. 5.3 рассчитываем значения внутренних элементов четвертой снизу строки числового треугольника (5.52): 2,11 8 , 3,12 3 . Затем выбираем (обосновываем) значения крайних элементов этой же строки, например

1,10 4 , а 4,13 8 , так чтобы выполнялись неравенства для элементов и для их частичных сумм

1,2 2,3 3,4 10,11 11,12 12,13 ,

1,2 2,3 3,4 10,11 11,12 12,13 ,

и заполняем соответственно колонки № 4 и № 10 табл. 5.3.

Шаг 5. На основе новых данных табл. 5.3 рассчитываем значения внутренних элементов пятой снизу строки числового треугольника

(5.52): 2,10 6 , 3,11 6 , 4,12 1 . Затем выбираем (обосновываем) значения двух крайних элементов этой же строки, например

1,9 8 , а 5,13 3 , так чтобы выполнялись неравенства для элементов, а также для их частичных сумм

1,2 2,3 3,4 4,5 9,10 10,11 11,12 12,13 ,

1,2 2,3 3,4 4,5 9,10 10,11 11,12 12,13 ,

и заполняем соответственно колонки № 5 и № 9 табл. 5.3.

Таблица 5.3

Вспомогательная таблица для синтеза ОКП

5.2. Методы синтеза полных классов ДЧ-сигналов 191

Окончание табл. 5.3

Шаг 6. Проводим анализ данных первой строки табл. 5.3 и находим, что на трех позициях № 6, № 7 и № 8 требуется оптимальным образом разместить три оставшиеся элемента 7, 12 и 13, т. е. необходимо рассмотреть 3! 6 различных перестановок из трех оставшихся элементов. Одна из таких перестановок вида (7,13,12) приводит к построению ОКП. Подобные исследования, выполненные для второй и третьей строк табл. 5.3, не привели к построению ОКП.

Ясно, что предложенное правило синтеза требует, в общем случае, нескольких итераций, однако допускает свою модификацию после любого шага, по схеме с убывающей сложностью вычислений; в данном случае по схеме: 11! 9! 7! 5! 3! с последующей проверкой оптимальности кодирующих последовательностей. Отметим также важную особенность полных классов ОКП длины N и объема J N , состоящую в том, что с ростом N вероятность w N случайного выбора ОКП резко уменьшается, как это видно из анализа данных табл. 5.4.

Таблица 5.4

предложенные конструктивные правила синтеза полных классов ОКП являются практически привлекательными.

192 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

5.3.Алгоритмы Л. Е. Варакина построения

оптимальных систем ДЧ-сигналов

Два ДЧ-сигнала Si (t) и Sk (t) называют оптимальной парой, если их АВКФ обладает свойством не более одного совпадения одновременно по частоте и времени при их произвольных апериодических временных сдвигах друг относительно друга [11—13]. По определению АВКФ оптимальной пары сигналов имеет модуль, равный 0 или 1 / n , где n — длина каждого сигнала. Если все возможные пары, составляющие систему, оптимальны, то такую систему сигналов называют оптимальной. Регулярные алгоритмы построения оптимальных систем ДЧ-сигналов подробно исследовались в [12]. Эти алгоритмы были получены на основе теории чисел и теории простых полей Галуа.

Прежде чем сформулировать алгоритм построения оптимальных систем ДЧ-сигналов, отметим, что каждый сигнал системы полностью определяется своей частотно-временной матрицей, характеризующей распределение энергии сигнала на частотно-временной плоскости. Частотновременную матрицу можно описать с помощью либо частотно-кодирующей последовательности (ЧКП), либо времякодирующей последовательности (ВКП). Обозначим через t / 0 целочисленную переменную по оси времени t , где 0 — длительность элементарного импульса, которая при кодировании будет изменяться линейно 0, n 1 . ЧКП, определя-

ющую смещение частоты от импульса к импульсу для j-го сигнала, обозначим через j ( ) . Пусть теперь целочисленная переменная f / f0 по оси частот изменяется линейно — 0, n 1 , тогда порядок следования импульсов во времени будет определяться ВКП, которую обозначим через

j . Свойство взаимности ЧКП и ВКП называют частотно-временной дуальностью. Например, распределение энергии ДЧ-сигнала (рис. 3.3) приведено на частотно-временной плоскости рис. 5.5.

Рассмотрим регулярный алгоритм Л. Е. Варакина [12] построе-

5.3. Алгоритмы Л. Е. Варакина построения оптимальных систем ДЧ-сигналов 193

Рис. 5.5. Свойство частотно-временной дуальности (взаимности) ЧКП и ВКП

Шаг 2. Сформировать кодовую матрицу Q , каждая строка которой является циклическим сдвигом МЛРП

Шаг 3. По полученной кодовой матрице Q построить частотновременные матрицы (ЧВМ), подобно рис. 5.5, для каждого из сигналов системы, рассматривая каждую строку матрицы Q как ВКП. Поскольку частотно-временные матрицы однозначно и наглядно

194 Глава 5 | Системы дискретных частотных сигналов

определяют структуру ДЧ-сигналов, то на этом синтез завершается. С другими регулярными алгоритмами синтеза оптимальных систем ДЧ-сигналов можно ознакомиться в [11,12].

5.4.Алгоритм построения полных классов оптимальных

систем ДЧ-сигналов на основе метода децимации

Методы децимации и редецимации М-последовательности широко используются в различных радиотехнических приложениях, например для исследования структурных свойств М-последовательностей [29]; для формирования больших ансамблей сигналов на базе составных М-последовательностей [26]; для решения задачи получения различных по структуре (изоморфных) М-последовательностей без перестройки обратных связей в генераторе М-последовательности.

Покажем, что метод децимации можно весьма эффективно использовать для построения полных классов оптимальных систем ДЧ-сигналов со свойством не более одного совпадения [54]. Для этого рассмотрим обобщенную алгебраическую конструкцию A в виде последовательности различных между собой однородных элементов ai (чисел, полиномов, таблиц и т. д.) простой длины N p , где p характеристика простого поля Галуа GF (p) , которую обозначим как

Определение 5.4.1. Последовательность элементов

полученная из A -последовательности (5.56) путем выборки di -ых членов, является результатом децимации исходной A -последователь- ности по индексу d для каждого d 1, p 1 .

Ясно, что последовательность Dd имеет период p , поскольку наибольший общий делитель d, p 1 . Соответствующая децимация называется собственной, или нормальной [26]. Именно такие децимации рассматриваются в дальнейшем.

Определение 5.4.2. Частотно-временным кодом на основе децимации произвольной A -последовательности простой длины p , или сокращенно D(p) -кодом, назовем множество кодовых слов, определяемых правилом (5.58).

5.4. Алгоритм построения полных классов оптимальных систем ДЧ-сигналов 195

Из анализа (5.58) следует, что длина D(p) -кода N p , объем D(p) -кода J p 1 , число различных частот M p . Важнейшее свойство D(p) -кода состоит в следующем.

Утверждение 5.4.1. Произвольный D(p) -код (5.58) обладает свойством не более одного совпадения ( 1 ) и, следовательно, порождает оптимальную систему ДЧ-сигналов.

Действительно, поскольку p — простое число и d, p 1 , для каждого d 1, p 1 , то по построению все временные интервалы между каждой парой одинаковых частотных элементов кодовых слов D(p) -кода являются различными. Следовательно, каждые два кодовых слова D(p) -кода обладают свойством не более одного совпадения 1 при произвольных временных апериодических сдвигах. Рассматривая каждое кодовое слово D(p) -кода как частотную кодирующую последовательность — ЧКП, построим оптимальную систему ДЧ-сигналов.

В табл. 5.5 построены примеры D(p) -кодов на основе двух произвольно выбранных A -последовательностей длины p 7 :

A1 = 0 1 2 3 4 5 6 ,

A2 0 1 3 2 6 4 5 .

Аналогичным образом нетрудно построить полные классы различных между собой оптимальных систем ДЧ-сигналов, выбирая соответствующие перестановки A -последовательности, например с фиксированными первыми двумя элементами. Ясно, что мощность W правила кодирования (5.58), т. е. объем полного класса различных между собой оптимальных систем ДЧ-сигналов длины p , определяется факториальным соотношением